Prakalkulus Contoh

$\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25} \leq 0$

Langkah 1

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$x^{2} - 9 x + 18 = 0$

$4 x^{2} - 25 = 0$

Langkah 2

Faktorkan $x^{2} - 9 x + 18$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $18$ dan jumlahnya $- 9$ .

$- 6, - 3$

Langkah 2.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x - 6) (x - 3) = 0$

Langkah 3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Langkah 4

Atur $x - 6$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $x - 6$ sama dengan $0$ .

$x - 6 = 0$

Langkah 4.2

Tambahkan $6$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 6$

Langkah 5

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 5.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 6) (x - 3) = 0$ benar.

$x = 6, 3$

Langkah 7

Tambahkan $25$ ke kedua sisi persamaan.

$4 x^{2} = 25$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $4 x^{2} = 25$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $4 x^{2} = 25$ dengan $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Langkah 9

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Langkah 10

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{25}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Langkah 10.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Langkah 10.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Langkah 10.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Langkah 10.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Langkah 11

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{5}{2}$

Langkah 11.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{5}{2}$

Langkah 11.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Langkah 12

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = 6, 3$

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Langkah 13

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = 6, 3, \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Langkah 14

Tentukan domain dari $\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Atur penyebut dalam $\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$4 x^{2} - 25 = 0$

Langkah 14.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Tambahkan $25$ ke kedua sisi persamaan.

$4 x^{2} = 25$

Langkah 14.2.2

Bagi setiap suku pada $4 x^{2} = 25$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.1

Bagilah setiap suku di $4 x^{2} = 25$ dengan $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Langkah 14.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Langkah 14.2.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Langkah 14.2.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Langkah 14.2.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.4.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{25}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Langkah 14.2.4.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.4.2.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Langkah 14.2.4.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Langkah 14.2.4.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.4.3.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Langkah 14.2.4.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Langkah 14.2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{5}{2}$

Langkah 14.2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{5}{2}$

Langkah 14.2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Langkah 14.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$

Langkah 15

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 3$

$3 < x < 6$

$x > 6$

Langkah 16

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Uji nilai pada interval $x < - \frac{5}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - \frac{5}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 5$

Langkah 16.1.2

Ganti $x$ dengan $- 5$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{{(- 5)}^{2} - 9 \cdot - 5 + 18}{4 {(- 5)}^{2} - 25} \leq 0$

Langkah 16.1.3

Sisi kiri $1.17\overline{3}$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 16.2

Uji nilai pada interval $- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Pilih nilai pada interval $- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 16.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{{(0)}^{2} - 9 \cdot 0 + 18}{4 {(0)}^{2} - 25} \leq 0$

Langkah 16.2.3

Sisi kiri $- 0.72$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 16.3

Uji nilai pada interval $\frac{5}{2} < x < 3$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Pilih nilai pada interval $\frac{5}{2} < x < 3$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 2.75$

Langkah 16.3.2

Ganti $x$ dengan $2.75$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{{(2.75)}^{2} - 9 \cdot 2.75 + 18}{4 {(2.75)}^{2} - 25} \leq 0$

Langkah 16.3.3

Sisi kiri $0.1547619$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 16.4

Uji nilai pada interval $3 < x < 6$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.1

Pilih nilai pada interval $3 < x < 6$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 16.4.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{{(4)}^{2} - 9 \cdot 4 + 18}{4 {(4)}^{2} - 25} \leq 0$

Langkah 16.4.3

Sisi kiri $- 0.\overline{051282}$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 16.5

Uji nilai pada interval $x > 6$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.1

Pilih nilai pada interval $x > 6$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 8$

Langkah 16.5.2

Ganti $x$ dengan $8$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{{(8)}^{2} - 9 \cdot 8 + 18}{4 {(8)}^{2} - 25} \leq 0$

Langkah 16.5.3

Sisi kiri $0.\overline{043290}$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 16.6

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - \frac{5}{2}$ Salah

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ Benar

$\frac{5}{2} < x < 3$ Salah

$3 < x < 6$ Benar

$x > 6$ Salah

$x < - \frac{5}{2}$ Salah

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ Benar

$\frac{5}{2} < x < 3$ Salah

$3 < x < 6$ Benar

$x > 6$ Salah

Langkah 17

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ atau $3 \leq x \leq 6$

Langkah 18

Konversikan pertidaksamaan ke notasi interval.

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup [3, 6]$

Langkah 19