Prakalkulus Contoh

$\frac{(x^{2} + 1) (x - 5)}{x^{2} - 25} \geq 0$

Langkah 1

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x^{2} - 25 = 0$

Langkah 2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 1$

Langkah 3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Langkah 4

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i$

Langkah 5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = i$

Langkah 5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - i$

Langkah 5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = i, - i$

Langkah 6

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 5$

Langkah 7

Tambahkan $25$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 25$

Langkah 8

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{25}$

Langkah 9

Sederhanakan $\pm \sqrt{25}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Langkah 9.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 5$

Langkah 10

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 5$

Langkah 10.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 5$

Langkah 10.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 5, - 5$

Langkah 11

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = i, - i$

$x = 5$

$x = 5, - 5$

Langkah 12

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = 5, 5, - 5$

Langkah 13

Tentukan domain dari $\frac{(x^{2} + 1) (x - 5)}{x^{2} - 25}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Atur penyebut dalam $\frac{(x^{2} + 1) (x - 5)}{x^{2} - 25}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} - 25 = 0$

Langkah 13.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Tambahkan $25$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 25$

Langkah 13.2.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{25}$

Langkah 13.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{25}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.3.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Langkah 13.2.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 5$

Langkah 13.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 5$

Langkah 13.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 5$

Langkah 13.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 5, - 5$

Langkah 13.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Langkah 14

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 5$

$- 5 < x < 5$

$x > 5$

Langkah 15

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Uji nilai pada interval $x < - 5$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 5$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 8$

Langkah 15.1.2

Ganti $x$ dengan $- 8$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{({(- 8)}^{2} + 1) ((- 8) - 5)}{{(- 8)}^{2} - 25} \geq 0$

Langkah 15.1.3

Sisi kiri $- 21.\overline{6}$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 15.2

Uji nilai pada interval $- 5 < x < 5$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Pilih nilai pada interval $- 5 < x < 5$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 15.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{({(0)}^{2} + 1) ((0) - 5)}{{(0)}^{2} - 25} \geq 0$

Langkah 15.2.3

Sisi kiri $0.2$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 15.3

Uji nilai pada interval $x > 5$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 5$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 8$

Langkah 15.3.2

Ganti $x$ dengan $8$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{({(8)}^{2} + 1) ((8) - 5)}{{(8)}^{2} - 25} \geq 0$

Langkah 15.3.3

Sisi kiri $5$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 15.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 5$ Salah

$- 5 < x < 5$ Benar

$x > 5$ Benar

$x < - 5$ Salah

$- 5 < x < 5$ Benar

$x > 5$ Benar

Langkah 16

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- 5 < x < 5$ atau $x > 5$

Langkah 17

Konversikan pertidaksamaan ke notasi interval.

$(- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Langkah 18