Prakalkulus Contoh

$f (x) = 2 x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 3$

Langkah 1

Atur $2 x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 3$ sama dengan $0$ .

$2 x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 3 = 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Faktorkan $2 x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 3$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Langkah 2.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 3, \pm 1.5$

Langkah 2.1.1.3

Substitusikan $- 1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1

Substitusikan $- 1$ ke dalam polinomialnya.

$2 {(- 1)}^{3} + 7 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 3$

Langkah 2.1.1.3.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$2 \cdot - 1 + 7 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 3$

Langkah 2.1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 + 7 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 3$

Langkah 2.1.1.3.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 2 + 7 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 3$

Langkah 2.1.1.3.5

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$- 2 + 7 + 2 \cdot - 1 - 3$

Langkah 2.1.1.3.6

Tambahkan $- 2$ dan $7$ .

$5 + 2 \cdot - 1 - 3$

Langkah 2.1.1.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$5 - 2 - 3$

Langkah 2.1.1.3.8

Kurangi $2$ dengan $5$ .

$3 - 3$

Langkah 2.1.1.3.9

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$0$

Langkah 2.1.1.4

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{2 x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 3}{x + 1}$

Langkah 2.1.1.5

Bagilah $2 x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 3$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x$

$3$

Langkah 2.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$

Langkah 2.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$2 x$

Langkah 2.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $5 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$2 x$

Langkah 2.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Langkah 2.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $5 x^{2} + 5 x$

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Langkah 2.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$3 x$

Langkah 2.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$3 x$	-	$3$

Langkah 2.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 3 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$3 x$	-	$3$

Langkah 2.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	-	$3$

Langkah 2.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 3 x - 3$

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	+	$3$

Langkah 2.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$2 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	+	$3$
										$0$

Langkah 2.1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$2 x^{2} + 5 x - 3$

Langkah 2.1.1.6

Tulis $2 x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 3$ sebagai himpunan faktor.

$(x + 1) (2 x^{2} + 5 x - 3) = 0$

Langkah 2.1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ dan yang jumlahnya adalah $b = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1.1

Faktorkan $5$ dari $5 x$ .

$(x + 1) (2 x^{2} + 5 (x) - 3) = 0$

Langkah 2.1.2.1.1.2

Tulis kembali $5$ sebagai $- 1$ ditambah $6$

$(x + 1) (2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3) = 0$

Langkah 2.1.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(x + 1) (2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3) = 0$

Langkah 2.1.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x + 1) ((2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3) = 0$

Langkah 2.1.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x + 1) (x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1)) = 0$

Langkah 2.1.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x - 1$ .

$(x + 1) ((2 x - 1) (x + 3)) = 0$

Langkah 2.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x + 1) (2 x - 1) (x + 3) = 0$

Langkah 2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Langkah 2.3

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 2.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 2.4

Atur $2 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $2 x - 1$ sama dengan $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $2 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 1$

Langkah 2.4.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 2.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 2.4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 2.5

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 3$ sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 1) (2 x - 1) (x + 3) = 0$ benar.

$x = - 1, \frac{1}{2}, - 3$

Langkah 3