Prakalkulus Contoh

${(4 + 4 i)}^{5}$

Langkah 1

Gunakan Teorema Binomial.

$4^{5} + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $5$ .

$1024 + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.2

Kalikan $4^{4}$ dengan $4$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Pindahkan $4$ .

$1024 + 5 \cdot (4 \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.2.2

Kalikan $4$ dengan $4^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $1$ .

$1024 + 5 \cdot (4^{1} \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$1024 + 5 \cdot 4^{1 + 4} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$1024 + 5 \cdot 4^{5} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.3

Naikkan $4$ menjadi pangkat $5$ .

$1024 + 5 \cdot 1024 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.4

Kalikan $5$ dengan $1024$ .

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.5

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 64 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.6

Kalikan $10$ dengan $64$ .

$1024 + 5120 i + 640 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.7

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 i$ .

$1024 + 5120 i + 640 (4^{2} i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.8

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$1024 + 5120 i + 640 (16 i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.9

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1024 + 5120 i + 640 (16 \cdot - 1) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.10

Kalikan $640 (16 \cdot - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.10.1

Kalikan $16$ dengan $- 1$ .

$1024 + 5120 i + 640 \cdot - 16 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.10.2

Kalikan $640$ dengan $- 16$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.11

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 16 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.12

Kalikan $10$ dengan $16$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.13

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (4^{3} i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.14

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.15

Faktorkan $i^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.16

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.17

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.18

Kalikan $- 1$ dengan $64$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (- 64 i) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.19

Kalikan $- 64$ dengan $160$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.20

Kalikan $5$ dengan $4$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.21

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (4^{4} i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.22

Naikkan $4$ menjadi pangkat $4$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.23

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.23.1

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai ${(i^{2})}^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(i^{2})}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.23.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(- 1)}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.23.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 \cdot 1) + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.24

Kalikan $20 (256 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.24.1

Kalikan $256$ dengan $1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 \cdot 256 + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.24.2

Kalikan $20$ dengan $256$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + {(4 i)}^{5}$

Langkah 2.1.25

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 4^{5} i^{5}$

Langkah 2.1.26

Naikkan $4$ menjadi pangkat $5$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i^{5}$

Langkah 2.1.27

Faktorkan $i^{4}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (i^{4} i)$

Langkah 2.1.28

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.28.1

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai ${(i^{2})}^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(i^{2})}^{2} i)$

Langkah 2.1.28.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(- 1)}^{2} i)$

Langkah 2.1.28.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (1 i)$

Langkah 2.1.29

Kalikan $i$ dengan $1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i$

Langkah 2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangi $10240$ dengan $1024$ .

$- 9216 + 5120 i - 10240 i + 5120 + 1024 i$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $- 9216$ dan $5120$ .

$- 4096 + 5120 i - 10240 i + 1024 i$

Langkah 2.2.3

Kurangi $10240 i$ dengan $5120 i$ .

$- 4096 - 5120 i + 1024 i$

Langkah 2.2.4

Tambahkan $- 5120 i$ dan $1024 i$ .

$- 4096 - 4096 i$

Langkah 3

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 4

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = - 4096$ dan $b = - 4096$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4096)}^{2} + {(- 4096)}^{2}}$

Langkah 6

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Naikkan $- 4096$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{16777216 + {(- 4096)}^{2}}$

Langkah 6.2

Naikkan $- 4096$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{16777216 + 16777216}$

Langkah 6.3

Tambahkan $16777216$ dan $16777216$ .

$| z | = \sqrt{33554432}$

Langkah 6.4

Tulis kembali $33554432$ sebagai $4096^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $16777216$ dari $33554432$ .

$| z | = \sqrt{16777216 (2)}$

Langkah 6.4.2

Tulis kembali $16777216$ sebagai $4096^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4096^{2} \cdot 2}$

Langkah 6.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| z | = 4096 \sqrt{2}$

Langkah 7

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{- 4096}{- 4096})$

Langkah 8

Karena tangen balikan $\frac{- 4096}{- 4096}$ menghasilkan sudut di kuadran ketiga, nilai dari sudut tersebut adalah $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Langkah 9

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = \frac{5 π}{4}$ dan $| z | = 4096 \sqrt{2}$ .

$4096 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$