Prakalkulus Contoh

$\sin (\cos^{-1} (u) - \tan^{-1} (v))$

Langkah 1

Terapkan identitas beda sudut.

$\sin (\cos^{-1} (u)) \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gambar sebuah segitiga pada bidang datar dengan sudut $(u, \sqrt{1^{2} - u^{2}})$ , $(u, 0)$ , dan titik asal. Kemudian $\cos^{-1} (u)$ adalah sudut antara sumbu x positif dan sinar garis yang berawal dari titik asal, serta melewati $(u, \sqrt{1^{2} - u^{2}})$ . Oleh karena itu, $\sin (\cos^{-1} (u))$ adalah $\sqrt{1 - u^{2}}$ .

$\sqrt{1 - u^{2}} \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Langkah 2.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - u^{2}} \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Langkah 2.1.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = u$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Langkah 2.1.4

Gambar sebuah segitiga pada bidang datar dengan sudut $(1, v)$ , $(1, 0)$ , dan titik asal. Kemudian $\tan^{-1} (v)$ adalah sudut antara sumbu x positif dan sinar garis yang berawal dari titik asal, serta melewati $(1, v)$ . Oleh karena itu, $\cos (\tan^{-1} (v))$ adalah $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Langkah 2.1.5

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ dengan $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} (\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Langkah 2.1.6

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ dengan $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Langkah 2.1.6.2

Naikkan $\sqrt{1 + v^{2}}$ menjadi pangkat $1$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Langkah 2.1.6.3

Naikkan $\sqrt{1 + v^{2}}$ menjadi pangkat $1$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Langkah 2.1.6.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Langkah 2.1.6.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Langkah 2.1.6.6

Tulis kembali ${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ sebagai $1 + v^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{1 + v^{2}}$ sebagai ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Langkah 2.1.6.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Langkah 2.1.6.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Langkah 2.1.6.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Langkah 2.1.6.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Langkah 2.1.6.6.5

Sederhanakan.

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Langkah 2.1.7

Kalikan $\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.7.1

Gabungkan $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ dan $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Langkah 2.1.7.2

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Langkah 2.1.8

Fungsi kosinus dan arckosinus adalah balikan.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \sin (\tan^{-1} (v))$

Langkah 2.1.9

Gambar sebuah segitiga pada bidang datar dengan sudut $(1, v)$ , $(1, 0)$ , dan titik asal. Kemudian $\tan^{-1} (v)$ adalah sudut antara sumbu x positif dan sinar garis yang berawal dari titik asal, serta melewati $(1, v)$ . Oleh karena itu, $\sin (\tan^{-1} (v))$ adalah $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$

Langkah 2.1.10

Kalikan $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ dengan $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u (\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}})$

Langkah 2.1.11

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.11.1

Kalikan $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ dengan $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}}$

Langkah 2.1.11.2

Naikkan $\sqrt{1 + v^{2}}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}}$

Langkah 2.1.11.3

Naikkan $\sqrt{1 + v^{2}}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}}$

Langkah 2.1.11.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}}$

Langkah 2.1.11.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}}$

Langkah 2.1.11.6

Tulis kembali ${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ sebagai $1 + v^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.11.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{1 + v^{2}}$ sebagai ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.1.11.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.1.11.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.1.11.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.11.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.1.11.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}}$

Langkah 2.1.11.6.5

Sederhanakan.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$

Langkah 2.1.12

Gabungkan $\frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ dan $u$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - \frac{v \sqrt{1 + v^{2}} u}{1 + v^{2}}$

Langkah 2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})} - v \sqrt{1 + v^{2}} u}{1 + v^{2}}$