Prakalkulus Contoh

$\cos (\tan^{-1} (u) - \cos^{-1} (v))$

Langkah 1

Terapkan identitas beda sudut $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\tan^{-1} (u)) \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gambar sebuah segitiga pada bidang datar dengan sudut $(1, u)$ , $(1, 0)$ , dan titik asal. Kemudian $\tan^{-1} (u)$ adalah sudut antara sumbu x positif dan sinar garis yang berawal dari titik asal, serta melewati $(1, u)$ . Oleh karena itu, $\cos (\tan^{-1} (u))$ adalah $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.2

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ dengan $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ dengan $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.3.2

Naikkan $\sqrt{1 + u^{2}}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.3.3

Naikkan $\sqrt{1 + u^{2}}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ sebagai $1 + u^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{1 + u^{2}}$ sebagai ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.3.6.5

Sederhanakan.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.4

Fungsi kosinus dan arckosinus adalah balikan.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} v + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.5

Gabungkan $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ dan $v$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.6

Gambar sebuah segitiga pada bidang datar dengan sudut $(1, u)$ , $(1, 0)$ , dan titik asal. Kemudian $\tan^{-1} (u)$ adalah sudut antara sumbu x positif dan sinar garis yang berawal dari titik asal, serta melewati $(1, u)$ . Oleh karena itu, $\sin (\tan^{-1} (u))$ adalah $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.7

Kalikan $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ dengan $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.8

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.8.1

Kalikan $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ dengan $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.8.2

Naikkan $\sqrt{1 + u^{2}}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.8.3

Naikkan $\sqrt{1 + u^{2}}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.8.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.8.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.8.6

Tulis kembali ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ sebagai $1 + u^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.8.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{1 + u^{2}}$ sebagai ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.8.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.8.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.8.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.8.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.8.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.8.6.5

Sederhanakan.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Langkah 2.1.9

Gambar sebuah segitiga pada bidang datar dengan sudut $(v, \sqrt{1^{2} - v^{2}})$ , $(v, 0)$ , dan titik asal. Kemudian $\cos^{-1} (v)$ adalah sudut antara sumbu x positif dan sinar garis yang berawal dari titik asal, serta melewati $(v, \sqrt{1^{2} - v^{2}})$ . Oleh karena itu, $\sin (\cos^{-1} (v))$ adalah $\sqrt{1 - v^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{1 - v^{2}}$

Langkah 2.1.10

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{1^{2} - v^{2}}$

Langkah 2.1.11

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = v$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}$

Langkah 2.1.12

Kalikan $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.12.1

Gabungkan $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ dan $\sqrt{(1 + v) (1 - v)}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}}{1 + u^{2}}$

Langkah 2.1.12.2

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}}$

Langkah 2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v + u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}}$