Prakalkulus Contoh

$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{144} = 1$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{x^{2}}{25}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{y^{2}}{144} = 1 - \frac{x^{2}}{25}$

Langkah 2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $- 144$ .

$- 144 (- \frac{y^{2}}{144}) = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Langkah 3

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Sederhanakan $- 144 (- \frac{y^{2}}{144})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $144$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{y^{2}}{144}$ ke dalam pembilangnya.

$- 144 \frac{- y^{2}}{144} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Langkah 3.1.1.1.2

Faktorkan $144$ dari $- 144$ .

$144 (- 1) \frac{- y^{2}}{144} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Langkah 3.1.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$144 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{144} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Langkah 3.1.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- - y^{2} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Langkah 3.1.1.2

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 y^{2} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Langkah 3.1.1.2.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan $- 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = - 144 \cdot 1 - 144 (- \frac{x^{2}}{25})$

Langkah 3.2.1.2

Kalikan $- 144$ dengan $1$ .

$y^{2} = - 144 - 144 (- \frac{x^{2}}{25})$

Langkah 3.2.1.3

Kalikan $- 144 (- \frac{x^{2}}{25})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 144$ .

$y^{2} = - 144 + 144 \frac{x^{2}}{25}$

Langkah 3.2.1.3.2

Gabungkan $144$ dan $\frac{x^{2}}{25}$ .

$y^{2} = - 144 + \frac{144 x^{2}}{25}$

Langkah 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 144 + \frac{144 x^{2}}{25}}$

Langkah 5

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 144 + \frac{144 x^{2}}{25}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $144 x^{2}$ sebagai ${(12 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 144 + \frac{{(12 x)}^{2}}{25}}$

Langkah 5.2

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 144 + \frac{{(12 x)}^{2}}{5^{2}}}$

Langkah 5.3

Tulis kembali $\frac{{(12 x)}^{2}}{5^{2}}$ sebagai ${(\frac{12 x}{5})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 144 + {(\frac{12 x}{5})}^{2}}$

Langkah 5.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Tulis kembali $144$ sebagai $12^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 12^{2} + {(\frac{12 x}{5})}^{2}}$

Langkah 5.4.2

Susun kembali $- 12^{2}$ dan ${(\frac{12 x}{5})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{12 x}{5})}^{2} - 12^{2}}$

Langkah 5.5

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = \frac{12 x}{5}$ dan $b = 12$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{12 x}{5} + 12) (\frac{12 x}{5} - 12)}$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Faktorkan $12$ dari $\frac{12 x}{5} + 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1

Faktorkan $12$ dari $\frac{12 x}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(12 \frac{x}{5} + 12) (\frac{12 x}{5} - 12)}$

Langkah 5.6.1.2

Faktorkan $12$ dari $12$ .

$y = \pm \sqrt{(12 \frac{x}{5} + 12 (1)) (\frac{12 x}{5} - 12)}$

Langkah 5.6.1.3

Faktorkan $12$ dari $12 \frac{x}{5} + 12 (1)$ .

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) (\frac{12 x}{5} - 12)}$

Langkah 5.6.2

Faktorkan $12$ dari $\frac{12 x}{5} - 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Faktorkan $12$ dari $\frac{12 x}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) (12 \frac{x}{5} - 12)}$

Langkah 5.6.2.2

Faktorkan $12$ dari $- 12$ .

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) (12 \frac{x}{5} + 12 (- 1))}$

Langkah 5.6.2.3

Faktorkan $12$ dari $12 \frac{x}{5} + 12 (- 1)$ .

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) (12 (\frac{x}{5} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) \cdot 12 (\frac{x}{5} - 1)}$

Langkah 5.6.3

Kalikan $12$ dengan $12$ .

$y = \pm \sqrt{144 (\frac{x}{5} + 1) (\frac{x}{5} - 1)}$

Langkah 5.7

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{144 (\frac{x}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x}{5} - 1)}$

Langkah 5.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1)}$

Langkah 5.9

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}$

Langkah 5.10

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}$

Langkah 5.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} \frac{x - 1 \cdot 5}{5}}$

Langkah 5.12

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} \frac{x - 5}{5}}$

Langkah 5.13

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.13.1

Gabungkan $144$ dan $\frac{x + 5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{144 (x + 5)}{5} \cdot \frac{x - 5}{5}}$

Langkah 5.13.2

Kalikan $\frac{144 (x + 5)}{5}$ dengan $\frac{x - 5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{144 (x + 5) (x - 5)}{5 \cdot 5}}$

Langkah 5.13.3

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{144 (x + 5) (x - 5)}{25}}$

Langkah 5.14

Tulis kembali $\frac{144 (x + 5) (x - 5)}{25}$ sebagai ${(\frac{12}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.14.1

Faktorkan kuadrat sempurna $12^{2}$ dari $144 (x + 5) (x - 5)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{12^{2} ((x + 5) (x - 5))}{25}}$

Langkah 5.14.2

Faktorkan kuadrat sempurna $5^{2}$ dari $25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{12^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}}$

Langkah 5.14.3

Susun kembali pecahan $\frac{12^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{12}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}$

Langkah 5.15

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm \frac{12}{5} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$

Langkah 5.16

Gabungkan $\frac{12}{5}$ dan $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$y = \pm \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

Langkah 6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

Langkah 6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

Langkah 6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

$y = - \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

$y = \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

$y = - \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

Langkah 7

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$(x + 5) (x - 5) \geq 0$

Langkah 8

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Langkah 8.2

Atur $x + 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Atur $x + 5$ sama dengan $0$ .

$x + 5 = 0$

Langkah 8.2.2

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 5$

Langkah 8.3

Atur $x - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Atur $x - 5$ sama dengan $0$ .

$x - 5 = 0$

Langkah 8.3.2

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 5$

Langkah 8.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 5) (x - 5) \geq 0$ benar.

$x = - 5, 5$

Langkah 8.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 5$

$- 5 < x < 5$

$x > 5$

Langkah 8.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Uji nilai pada interval $x < - 5$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 5$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 8$

Langkah 8.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 8$ pada pertidaksamaan asal.

$((- 8) + 5) ((- 8) - 5) \geq 0$

Langkah 8.6.1.3

Sisi kiri $39$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 8.6.2

Uji nilai pada interval $- 5 < x < 5$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.2.1

Pilih nilai pada interval $- 5 < x < 5$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 8.6.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$((0) + 5) ((0) - 5) \geq 0$

Langkah 8.6.2.3

Sisi kiri $- 25$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 8.6.3

Uji nilai pada interval $x > 5$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 5$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 8$

Langkah 8.6.3.2

Ganti $x$ dengan $8$ pada pertidaksamaan asal.

$((8) + 5) ((8) - 5) \geq 0$

Langkah 8.6.3.3

Sisi kiri $39$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 8.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 5$ Benar

$- 5 < x < 5$ Salah

$x > 5$ Benar

$x < - 5$ Benar

$- 5 < x < 5$ Salah

$x > 5$ Benar

Langkah 8.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x \leq - 5$ atau $x \geq 5$

Langkah 9

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \leq - 5, x \geq 5}$

Langkah 10

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${y | y \in ℝ}$

Langkah 11

Tentukan domain dan daerah hasilnya.

Domain: $(- \infty, - 5] \cup [5, \infty), {x | x \leq - 5, x \geq 5}$

Daerah hasil: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Langkah 12