Prakalkulus Contoh

$- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y + 100 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $100$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y = - 100$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $- 4 x^{2} + 40 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 4$

$b = 40$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{40}{2 \cdot - 4}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $40$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $40$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot - 4}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (- 4)}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot - 4}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{20}{- 4}$

Langkah 1.2.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $20$ dan $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $20$ .

$d = \frac{4 (5)}{- 4}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Langkah 1.2.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$d = - 5$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot - 4}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $40$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot - 4}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 4$ .

$e = 0 - \frac{1600}{- 16}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Bagilah $1600$ dengan $- 16$ .

$e = 0 - - 100$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Langkah 1.2.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $100$ .

$e = 100$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- 4 {(x - 5)}^{2} + 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 100$

Langkah 1.3

Substitusikan $- 4 {(x - 5)}^{2} + 100$ untuk $- 4 x^{2} + 40 x$ dalam persamaan $- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y = - 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 100 + 25 y^{2} - 100 y = - 100$

Langkah 1.4

Pindahkan $100$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $100$ ke kedua sisinya.

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 y^{2} - 100 y = - 100 - 100$

Langkah 1.5

Selesaikan kuadrat dari $25 y^{2} - 100 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Langkah 1.5.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.5.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 100$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 50}{25}$

Langkah 1.5.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 50$ dan $25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Faktorkan $25$ dari $- 50$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.2.1

Faktorkan $25$ dari $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 2}{1}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$d = - 2$

Langkah 1.5.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Naikkan $- 100$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Bagilah $10000$ dengan $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $100$ .

$e = 0 - 100$

Langkah 1.5.4.2.2

Kurangi $100$ dengan $0$ .

$e = - 100$

Langkah 1.5.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $25 {(y - 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(y - 2)}^{2} - 100$

Langkah 1.6

Substitusikan $25 {(y - 2)}^{2} - 100$ untuk $25 y^{2} - 100 y$ dalam persamaan $- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y = - 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} - 100 = - 100 - 100$

Langkah 1.7

Pindahkan $- 100$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $100$ ke kedua sisinya.

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 100 - 100 + 100$

Langkah 1.8

Sederhanakan $- 100 - 100 + 100$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Kurangi $100$ dengan $- 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 200 + 100$

Langkah 1.8.2

Tambahkan $- 200$ dan $100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 100$

Langkah 1.9

Balik tanda pada setiap komponen dari persamaan tersebut sehingga komponen di sisi kanan positif.

$4 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y - 2)}^{2} = 100$

Langkah 1.10

Bagi setiap suku dengan $100$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{4 {(x - 5)}^{2}}{100} - \frac{25 {(y - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Langkah 1.11

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{4} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan asimtot dari hiperbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 5$

$b = 2$

$k = 2$

$h = 5$

Langkah 4

Asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ karena hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan.

$y = \pm \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$

Langkah 5

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$

Langkah 5.2

Sederhanakan $\frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$y = \frac{2}{5} \cdot (x - 5) + 2$

Langkah 5.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Langkah 5.2.1.3

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $x$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Langkah 5.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.4.1

Faktorkan $5$ dari $- 5$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot (5 (- 1)) + 2$

Langkah 5.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot (5 \cdot - 1) + 2$

Langkah 5.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{2 x}{5} + 2 \cdot - 1 + 2$

Langkah 5.2.1.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{5} - 2 + 2$

Langkah 5.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $\frac{2 x}{5} - 2 + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$y = \frac{2 x}{5} + 0$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $\frac{2 x}{5}$ dan $0$ .

$y = \frac{2 x}{5}$

Langkah 6

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$

Langkah 6.2

Sederhanakan $- \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$y = - \frac{2}{5} \cdot (x - 5) + 2$

Langkah 6.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{2}{5} x - \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Langkah 6.2.1.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Langkah 6.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2}{5}$ ke dalam pembilangnya.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot - 5 + 2$

Langkah 6.2.1.4.2

Faktorkan $5$ dari $- 5$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 (- 1)) + 2$

Langkah 6.2.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot - 1) + 2$

Langkah 6.2.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - 2 \cdot - 1 + 2$

Langkah 6.2.1.5

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + 2 + 2$

Langkah 6.2.1.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 2 + 2$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Langkah 7

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{2 x}{5}, y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Langkah 8

Asimtotnya adalah $y = \frac{2 x}{5}$ dan $y = - \frac{2 x}{5} + 4$ .

Asimtot: $y = \frac{2 x}{5}, y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Langkah 9