Prakalkulus Contoh

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Langkah 1

Pertimbangkan grafik tanda yang sesuai.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Langkah 2

Gunakan grafik tanda dan matriks yang diberikan untuk mencari kofaktor setiap elemen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Hitung minor untuk elemen $a_{11}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Minor untuk $a_{11}$ adalah determinan dengan baris $1$ dan kolom $1$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Langkah 2.1.2

Evaluasi determinan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4$

Langkah 2.1.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1.1

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$a_{11} = 12 - 2 \cdot 4$

Langkah 2.1.2.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $4$ .

$a_{11} = 12 - 8$

Langkah 2.1.2.2.2

Kurangi $8$ dengan $12$ .

$a_{11} = 4$

Langkah 2.2

Hitung minor untuk elemen $a_{12}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Minor untuk $a_{12}$ adalah determinan dengan baris $1$ dan kolom $2$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Langkah 2.2.2

Evaluasi determinan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 4$

Langkah 2.2.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1.1

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$a_{12} = 12 - 1 \cdot 4$

Langkah 2.2.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$a_{12} = 12 - 4$

Langkah 2.2.2.2.2

Kurangi $4$ dengan $12$ .

$a_{12} = 8$

Langkah 2.3

Hitung minor untuk elemen $a_{13}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Minor untuk $a_{13}$ adalah determinan dengan baris $1$ dan kolom $3$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Langkah 2.3.2

Evaluasi determinan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4$

Langkah 2.3.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$a_{13} = 8 - 1 \cdot 4$

Langkah 2.3.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$a_{13} = 8 - 4$

Langkah 2.3.2.2.2

Kurangi $4$ dengan $8$ .

$a_{13} = 4$

Langkah 2.4

Hitung minor untuk elemen $a_{21}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Minor untuk $a_{21}$ adalah determinan dengan baris $2$ dan kolom $1$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Langkah 2.4.2

Evaluasi determinan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$a_{21} = 6 - 2 \cdot 1$

Langkah 2.4.2.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$a_{21} = 6 - 2$

Langkah 2.4.2.2.2

Kurangi $2$ dengan $6$ .

$a_{21} = 4$

Langkah 2.5

Hitung minor untuk elemen $a_{22}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Minor untuk $a_{22}$ adalah determinan dengan baris $2$ dan kolom $2$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Langkah 2.5.2

Evaluasi determinan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot 1$

Langkah 2.5.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$a_{22} = 9 - 1 \cdot 1$

Langkah 2.5.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$a_{22} = 9 - 1$

Langkah 2.5.2.2.2

Kurangi $1$ dengan $9$ .

$a_{22} = 8$

Langkah 2.6

Hitung minor untuk elemen $a_{23}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Minor untuk $a_{23}$ adalah determinan dengan baris $2$ dan kolom $3$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Langkah 2.6.2

Evaluasi determinan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 2$

Langkah 2.6.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$a_{23} = 6 - 1 \cdot 2$

Langkah 2.6.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$a_{23} = 6 - 2$

Langkah 2.6.2.2.2

Kurangi $2$ dengan $6$ .

$a_{23} = 4$

Langkah 2.7

Hitung minor untuk elemen $a_{31}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Minor untuk $a_{31}$ adalah determinan dengan baris $3$ dan kolom $1$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Langkah 2.7.2

Evaluasi determinan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 2 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

Langkah 2.7.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$a_{31} = 8 - 4 \cdot 1$

Langkah 2.7.2.2.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$a_{31} = 8 - 4$

Langkah 2.7.2.2.2

Kurangi $4$ dengan $8$ .

$a_{31} = 4$

Langkah 2.8

Hitung minor untuk elemen $a_{32}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Minor untuk $a_{32}$ adalah determinan dengan baris $3$ dan kolom $2$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Langkah 2.8.2

Evaluasi determinan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

Langkah 2.8.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$a_{32} = 12 - 4 \cdot 1$

Langkah 2.8.2.2.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$a_{32} = 12 - 4$

Langkah 2.8.2.2.2

Kurangi $4$ dengan $12$ .

$a_{32} = 8$

Langkah 2.9

Hitung minor untuk elemen $a_{33}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Minor untuk $a_{33}$ adalah determinan dengan baris $3$ dan kolom $3$ dihapus.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Langkah 2.9.2

Evaluasi determinan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2$

Langkah 2.9.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$a_{33} = 12 - 4 \cdot 2$

Langkah 2.9.2.2.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$a_{33} = 12 - 8$

Langkah 2.9.2.2.2

Kurangi $8$ dengan $12$ .

$a_{33} = 4$

Langkah 2.10

Kofaktor matriksya adalah matriks minor dengan tanda yang diubah untuk elemen dalam posisi $-$ di grafik tanda.

$[\begin{array}{c} 4 & - 8 & 4 \\ - 4 & 8 & - 4 \\ 4 & - 8 & 4 \end{array}]$