Prakalkulus Contoh

$x^{3} + 2 x^{2} - x - 2 \geq 0$

Langkah 1

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$x^{3} + 2 x^{2} - x - 2 = 0$

Langkah 2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x^{3} + 2 x^{2}) - x - 2 = 0$

Langkah 2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$x^{2} (x + 2) - (x + 2) = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x + 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 1) = 0$

Langkah 2.3

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$(x + 2) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Langkah 2.4

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$(x + 2) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Langkah 2.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x + 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Langkah 3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 4

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 4.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 5

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 6

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 6.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 2) (x + 1) (x - 1) = 0$ benar.

$x = - 2, - 1, 1$

Langkah 8

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Langkah 9

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Uji nilai pada interval $x < - 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 4$

Langkah 9.1.2

Ganti $x$ dengan $- 4$ pada pertidaksamaan asal.

${(- 4)}^{3} + 2 {(- 4)}^{2} - (- 4) - 2 \geq 0$

Langkah 9.1.3

Sisi kiri $- 30$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 9.2

Uji nilai pada interval $- 2 < x < - 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Pilih nilai pada interval $- 2 < x < - 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 1.5$

Langkah 9.2.2

Ganti $x$ dengan $- 1.5$ pada pertidaksamaan asal.

${(- 1.5)}^{3} + 2 {(- 1.5)}^{2} - (- 1.5) - 2 \geq 0$

Langkah 9.2.3

Sisi kiri $0.625$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 9.3

Uji nilai pada interval $- 1 < x < 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Pilih nilai pada interval $- 1 < x < 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 9.3.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

${(0)}^{3} + 2 {(0)}^{2} - (0) - 2 \geq 0$

Langkah 9.3.3

Sisi kiri $- 2$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 9.4

Uji nilai pada interval $x > 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Pilih nilai pada interval $x > 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 9.4.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

${(4)}^{3} + 2 {(4)}^{2} - (4) - 2 \geq 0$

Langkah 9.4.3

Sisi kiri $90$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 9.5

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 2$ Salah

$- 2 < x < - 1$ Benar

$- 1 < x < 1$ Salah

$x > 1$ Benar

$x < - 2$ Salah

$- 2 < x < - 1$ Benar

$- 1 < x < 1$ Salah

$x > 1$ Benar

Langkah 10

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- 2 \leq x \leq - 1$ atau $x \geq 1$

Langkah 11

Konversikan pertidaksamaan ke notasi interval.

$[- 2, - 1] \cup [1, \infty)$

Langkah 12