Prakalkulus Contoh

$\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4} > 0$

Langkah 1

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$x^{2} + x - 12 = 0$

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Langkah 2

Faktorkan $x^{2} + x - 12$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 12$ dan jumlahnya $1$ .

$- 3, 4$

Langkah 2.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Langkah 3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Langkah 4

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 4.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 5

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $x + 4$ sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 5.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 3) (x + 4) = 0$ benar.

$x = 3, - 4$

Langkah 7

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Langkah 7.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Langkah 7.3

Tulis kembali polinomialnya.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Langkah 7.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 8

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 9

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 10

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = 3, - 4$

$x = 2$

Langkah 11

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = 3, - 4, 2$

Langkah 12

Tentukan domain dari $\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Atur penyebut dalam $\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Langkah 12.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Langkah 12.2.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Langkah 12.2.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Langkah 12.2.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 12.2.2

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 12.2.3

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 12.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 13

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Langkah 14

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Uji nilai pada interval $x < - 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 6$

Langkah 14.1.2

Ganti $x$ dengan $- 6$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 6 - 12}{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot - 6 + 4} > 0$

Langkah 14.1.3

Sisi kiri $0.28125$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 14.2

Uji nilai pada interval $- 4 < x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Pilih nilai pada interval $- 4 < x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 14.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{{(0)}^{2} + 0 - 12}{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 4} > 0$

Langkah 14.2.3

Sisi kiri $- 3$ tidak lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 14.3

Uji nilai pada interval $2 < x < 3$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Pilih nilai pada interval $2 < x < 3$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 2.5$

Langkah 14.3.2

Ganti $x$ dengan $2.5$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{{(2.5)}^{2} + 2.5 - 12}{{(2.5)}^{2} - 4 \cdot 2.5 + 4} > 0$

Langkah 14.3.3

Sisi kiri $- 13$ tidak lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 14.4

Uji nilai pada interval $x > 3$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Pilih nilai pada interval $x > 3$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 6$

Langkah 14.4.2

Ganti $x$ dengan $6$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{{(6)}^{2} + 6 - 12}{{(6)}^{2} - 4 \cdot 6 + 4} > 0$

Langkah 14.4.3

Sisi kiri $1.875$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 14.5

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 4$ Benar

$- 4 < x < 2$ Salah

$2 < x < 3$ Salah

$x > 3$ Benar

$x < - 4$ Benar

$- 4 < x < 2$ Salah

$2 < x < 3$ Salah

$x > 3$ Benar

Langkah 15

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x < - 4$ atau $x > 3$

Langkah 16

Konversikan pertidaksamaan ke notasi interval.

$(- \infty, - 4) \cup (3, \infty)$

Langkah 17