Prakalkulus Contoh

$\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x + 1} \geq 0$

Langkah 1

Perkalian silang.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan silang dengan mengatur hasil kali pembilang sisi kanan dan penyebut sisi kiri agar sama dengan hasil kali pembilang sisi kiri dan penyebut sisi kanan.

$0 \cdot (x + 1) \geq \sqrt{x^{2} - 1}$

Langkah 1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kalikan $0$ dengan $x + 1$ .

$0 \geq \sqrt{x^{2} - 1}$

Langkah 1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan $\sqrt{x^{2} - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$0 \geq \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Langkah 1.3.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$0 \geq \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 2

Tulis kembali sehingga $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ di sisi kiri pertidaksamaan.

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Langkah 3

Untuk menghapus akar pada sisi kiri pertidaksamaan, kuadratkan kedua sisi pertidaksamaan.

${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2} \leq 0^{2}$

Langkah 4

Sederhanakan masing-masing sisi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ sebagai ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan ${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Langkah 4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Langkah 4.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${((x + 1) (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Langkah 4.2.1.2

Perluas $(x + 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

${(x (x - 1) + 1 (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Langkah 4.2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

${(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Langkah 4.2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

${(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Langkah 4.2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

${(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Langkah 4.2.1.3.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

${(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Langkah 4.2.1.3.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

${(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Langkah 4.2.1.3.1.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

${(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Langkah 4.2.1.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

${(x^{2} - x + x - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Langkah 4.2.1.3.2

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

${(x^{2} + 0 - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Langkah 4.2.1.3.3

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

${(x^{2} - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Langkah 4.2.1.4

Sederhanakan.

$x^{2} - 1 \leq 0^{2}$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$x^{2} - 1 \leq 0$

Langkah 5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tambahkan $1$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x^{2} \leq 1$

Langkah 5.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

Langkah 5.3

Sederhanakan persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | \leq \sqrt{1}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$| x | \leq 1$

Langkah 5.4

Tulis $| x | \leq 1$ sebagai fungsi sesepenggal.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.

$x \geq 0$

Langkah 5.4.2

Pada bagian di mana $x$ non-negatif, hapus nilai mutlaknya.

$x \leq 1$

Langkah 5.4.3

Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.

$x < 0$

Langkah 5.4.4

Pada bagian di mana $x$ negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan $- 1$ .

$- x \leq 1$

Langkah 5.4.5

Tulis sebagai fungsi sesepenggal.

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

Langkah 5.5

Tentukan irisan dari $x \leq 1$ dan $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 1$

Langkah 5.6

Selesaikan $- x \leq 1$ ketika $x < 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Bagi setiap suku pada $- x \leq 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1

Bagi setiap suku dalam $- x \leq 1$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Langkah 5.6.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Langkah 5.6.1.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 1}$

Langkah 5.6.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.3.1

Bagilah $1$ dengan $- 1$ .

$x \geq - 1$

Langkah 5.6.2

Tentukan irisan dari $x \geq - 1$ dan $x < 0$ .

$- 1 \leq x < 0$

Langkah 5.7

Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.

$- 1 \leq x \leq 1$

Langkah 6

Konversikan pertidaksamaan ke notasi interval.

$[- 1, 1]$

Langkah 7