Prakalkulus Contoh

$x = y^{2} - 4 y$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y^{2} - 4 y = x$ .

$y^{2} - 4 y = x$

Langkah 2

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} - 4 y - x = 0$

Langkah 3

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 4$ , dan $c = - x$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Faktorkan $- 4$ dari ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Faktorkan $- 4$ dari ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.1.1.2

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.1.1.3

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.1.3

Tulis kembali $- 4 (- 4 - x)$ sebagai $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.1.3.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.1.3.3

Tambahkan tanda kurung.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.1.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Langkah 5.3

Sederhanakan $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Langkah 6

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Faktorkan $- 4$ dari ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Faktorkan $- 4$ dari ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.1.1.2

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.1.1.3

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.1.3

Tulis kembali $- 4 (- 4 - x)$ sebagai $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.1.3.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.1.3.3

Tambahkan tanda kurung.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.1.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Langkah 6.3

Sederhanakan $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Langkah 6.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Langkah 7

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Faktorkan $- 4$ dari ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Faktorkan $- 4$ dari ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.1.1.2

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.1.1.3

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.1.3

Tulis kembali $- 4 (- 4 - x)$ sebagai $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.1.3.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.1.3.3

Tambahkan tanda kurung.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.1.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Langkah 7.3

Sederhanakan $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Langkah 7.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Langkah 8

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Langkah 9

Ganti variabelnya. Buat persamaan untuk masing-masing pernyataan.

$x = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)}, x = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - y)}$

Langkah 10

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$ .

$2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$

Langkah 10.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x - 2$

Langkah 10.3

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{- 1 (- 4 - y)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Langkah 10.4

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{- 1 (- 4 - y)}$ sebagai ${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Langkah 10.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.2.1

Sederhanakan ${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Langkah 10.4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Langkah 10.4.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(- 1 (- 4 - y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Langkah 10.4.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

${(- 1 \cdot - 4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Langkah 10.4.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

${(4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Langkah 10.4.2.1.4

Kalikan $- 1 (- y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.2.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

${(4 + 1 y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Langkah 10.4.2.1.4.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

${(4 + y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Langkah 10.4.2.1.5

Sederhanakan.

$4 + y = {(x - 2)}^{2}$

Langkah 10.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.3.1

Sederhanakan ${(x - 2)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.3.1.1

Tulis kembali ${(x - 2)}^{2}$ sebagai $(x - 2) (x - 2)$ .

$4 + y = (x - 2) (x - 2)$

Langkah 10.4.3.1.2

Perluas $(x - 2) (x - 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$4 + y = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Langkah 10.4.3.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Langkah 10.4.3.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Langkah 10.4.3.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.3.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$4 + y = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Langkah 10.4.3.1.3.1.2

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $x$ .

$4 + y = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Langkah 10.4.3.1.3.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$4 + y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Langkah 10.4.3.1.3.2

Kurangi $2 x$ dengan $- 2 x$ .

$4 + y = x^{2} - 4 x + 4$

Langkah 10.5

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = x^{2} - 4 x + 4 - 4$

Langkah 10.5.2

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} - 4 x + 4 - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$y = x^{2} - 4 x + 0$

Langkah 10.5.2.2

Tambahkan $x^{2} - 4 x$ dan $0$ .

$y = x^{2} - 4 x$

Langkah 11

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

Langkah 12

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ merupakan balikan dari $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Domain dari balikan adalah daerah hasil dari fungsi asal dan sebaliknya. Tentukan domain dan daerah hasil dari $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ dan $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ dan bandingkan.

Langkah 12.2

Tentukan daerah hasil dari $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Tentukan daerah hasil dari $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$[2, \infty)$

Langkah 12.2.2

Tentukan daerah hasil dari $2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.1

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$(- \infty, 2]$

Langkah 12.2.3

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.1

Gabungan tersebut terdiri dari semua anggota yang terkandung dalam setiap interval.

$(- \infty, \infty)$

Langkah 12.3

Tentukan domain dari $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$- 1 (- 4 - x) \geq 0$

Langkah 12.3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1

Bagi setiap suku pada $- 1 (- 4 - x) \geq 0$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1.1

Bagi setiap suku dalam $- 1 (- 4 - x) \geq 0$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- 1 (- 4 - x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Langkah 12.3.2.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{- 4 - x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Langkah 12.3.2.1.2.2

Bagilah $- 4 - x$ dengan $1$ .

$- 4 - x \leq \frac{0}{- 1}$

Langkah 12.3.2.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 1$ .

$- 4 - x \leq 0$

Langkah 12.3.2.2

Tambahkan $4$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- x \leq 4$

Langkah 12.3.2.3

Bagi setiap suku pada $- x \leq 4$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.3.1

Bagi setiap suku dalam $- x \leq 4$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

Langkah 12.3.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.3.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

Langkah 12.3.2.3.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \geq \frac{4}{- 1}$

Langkah 12.3.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.3.3.1

Bagilah $4$ dengan $- 1$ .

$x \geq - 4$

Langkah 12.3.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$[- 4, \infty)$

Langkah 12.4

Karena domain dari $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ adalah daerah hasil dari $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ dan daerah hasil dari $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ adalah domain dari $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ , maka $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ merupakan balikan dari $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

Langkah 13