Prakalkulus Contoh

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y - 37 = 0$

Langkah 1

Tambahkan $37$ ke kedua sisi persamaan.

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$

Langkah 2

Selesaikan kuadrat dari $12 x^{2} - 12 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 12$

$b = - 12$

$c = 0$

Langkah 2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 12}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 12$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

Langkah 2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (12)}$

Langkah 2.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

Langkah 2.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 6}{12}$

Langkah 2.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Faktorkan $6$ dari $- 6$ .

$d = \frac{6 (- 1)}{12}$

Langkah 2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.2.1

Faktorkan $6$ dari $12$ .

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Langkah 2.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Langkah 2.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 1}{2}$

Langkah 2.3.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$d = - \frac{1}{2}$

Langkah 2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 12}$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.1

Hapus faktor persekutuan dari ${(- 12)}^{2}$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.1.1

Tulis kembali $- 12$ sebagai $- 1 (12)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (12))}^{2}}{4 \cdot 12}$

Langkah 2.4.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 1 (12)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

Langkah 2.4.2.1.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

Langkah 2.4.2.1.1.4

Kalikan $12^{2}$ dengan $1$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 12}$

Langkah 2.4.2.1.1.5

Faktorkan $12$ dari $12^{2}$ .

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{4 \cdot 12}$

Langkah 2.4.2.1.1.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.1.6.1

Faktorkan $12$ dari $4 \cdot 12$ .

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

Langkah 2.4.2.1.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

Langkah 2.4.2.1.1.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e = 0 - \frac{12}{4}$

Langkah 2.4.2.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4}$

Langkah 2.4.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 (1)}$

Langkah 2.4.2.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e = 0 - \frac{3}{1}$

Langkah 2.4.2.1.2.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Langkah 2.4.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$e = 0 - 3$

Langkah 2.4.2.2

Kurangi $3$ dengan $0$ .

$e = - 3$

Langkah 2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$

Langkah 3

Substitusikan $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ untuk $12 x^{2} - 12 x$ dalam persamaan $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3 + 20 y^{2} + 40 y = 37$

Langkah 4

Pindahkan $- 3$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $3$ ke kedua sisinya.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 y^{2} + 40 y = 37 + 3$

Langkah 5

Selesaikan kuadrat dari $20 y^{2} + 40 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 20$

$b = 40$

$c = 0$

Langkah 5.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 5.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{40}{2 \cdot 20}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $40$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $40$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

Langkah 5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 20$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (20)}$

Langkah 5.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

Langkah 5.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{20}{20}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{20}{20}$

Langkah 5.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$d = 1$

Langkah 5.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot 20}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Naikkan $40$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot 20}$

Langkah 5.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $20$ .

$e = 0 - \frac{1600}{80}$

Langkah 5.4.2.1.3

Bagilah $1600$ dengan $80$ .

$e = 0 - 1 \cdot 20$

Langkah 5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $20$ .

$e = 0 - 20$

Langkah 5.4.2.2

Kurangi $20$ dengan $0$ .

$e = - 20$

Langkah 5.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ .

$20 {(y + 1)}^{2} - 20$

Langkah 6

Substitusikan $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ untuk $20 y^{2} + 40 y$ dalam persamaan $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} - 20 = 37 + 3$

Langkah 7

Pindahkan $- 20$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $20$ ke kedua sisinya.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 37 + 3 + 20$

Langkah 8

Sederhanakan $37 + 3 + 20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tambahkan $37$ dan $3$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 40 + 20$

Langkah 8.2

Tambahkan $40$ dan $20$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 60$

Langkah 9

Bagi setiap suku dengan $60$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{12 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{60} + \frac{20 {(y + 1)}^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

Langkah 10

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2}}{5} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

Langkah 11

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 12

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = \sqrt{5}$

$b = \sqrt{3}$

$k = - 1$

$h = \frac{1}{2}$

Langkah 13

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 14

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Langkah 15.1.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Langkah 15.1.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Langkah 15.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Langkah 15.1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{5^{1} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Langkah 15.1.1.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{5 - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Langkah 15.1.2

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Langkah 15.1.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

Langkah 15.1.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Langkah 15.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Langkah 15.1.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{1}}}{\sqrt{5}}$

Langkah 15.1.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{5 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Langkah 15.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3}}{\sqrt{5}}$

Langkah 15.1.4

Kurangi $3$ dengan $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Langkah 15.2

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Langkah 15.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Langkah 15.3.2

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Langkah 15.3.3

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Langkah 15.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Langkah 15.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Langkah 15.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 15.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 15.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 15.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 15.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Langkah 15.3.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Langkah 15.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Langkah 15.4.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

Langkah 16

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

Bentuk Desimal:

$0.63245553 \dots$

Langkah 17