Prakalkulus Contoh

$y = \frac{1}{2} \sin (2 x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena

$\frac{1}{2}$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah

$f' (g (x)) g' (x)$ di mana

$f (x) = \sin (x)$ dan

$g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur

$u$ sebagai

$2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.2.2

Turunan dari

$\sin (u)$ terhadap

$u$ adalah

$\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan

$u$ dengan

$2 x$ .

$\frac{1}{2} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gabungkan

$\cos (2 x)$ dan

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.3.2

Karena

$2$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$2 x$ terhadap

$x$ adalah

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Gabungkan

$2$ dan

$\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.3.2.2

Bagilah

$\cos (2 x)$ dengan

$1$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$\cos (2 x) \cdot 1$

Langkah 1.3.5

Kalikan

$\cos (2 x)$ dengan

$1$ .

$\cos (2 x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah

$f' (g (x)) g' (x)$ di mana

$f (x) = \cos (x)$ dan

$g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur

$u$ sebagai

$2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Langkah 2.1.2

Turunan dari

$\cos (u)$ terhadap

$u$ adalah

$- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan

$u$ dengan

$2 x$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena

$2$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$2 x$ terhadap

$x$ adalah

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.2.2

Kalikan

$2$ dengan

$- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Langkah 2.2.4

Kalikan

$- 2$ dengan

$1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan

$0$ , lalu selesaikan.

$\cos (2 x) = 0$

Langkah 4

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan

$x$ dari dalam kosinus.

$2 x = \arccos (0)$

Langkah 5

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Nilai eksak dari

$\arccos (0)$ adalah

$\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada

$2 x = \frac{π}{2}$ dengan

$2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di

$2 x = \frac{π}{2}$ dengan

$2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah

$x$ dengan

$1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 6.3.2

Kalikan

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Kalikan

$\frac{π}{2}$ dengan

$\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.3.2.2

Kalikan

$2$ dengan

$2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Langkah 7

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari

$2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 8

Selesaikan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Untuk menuliskan

$2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 8.1.2

Gabungkan

$2 π$ dan

$\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 8.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 8.1.4

Kalikan

$2$ dengan

$2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 8.1.5

Kurangi

$π$ dengan

$4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 8.2

Bagi setiap suku pada

$2 x = \frac{3 π}{2}$ dengan

$2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Bagilah setiap suku di

$2 x = \frac{3 π}{2}$ dengan

$2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Langkah 8.2.2.1.2

Bagilah

$x$ dengan

$1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 8.2.3.2

Kalikan

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.2.1

Kalikan

$\frac{3 π}{2}$ dengan

$\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Langkah 8.2.3.2.2

Kalikan

$2$ dengan

$2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Langkah 9

Penyelesaian untuk persamaan

$2 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada

$x = \frac{π}{4}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Faktorkan

$2$ dari

$4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Langkah 11.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Langkah 11.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 11.2

Nilai eksak dari

$\sin (\frac{π}{2})$ adalah

$1$ .

$- 2 \cdot 1$

Langkah 11.3

Kalikan

$- 2$ dengan

$1$ .

$- 2$

Langkah 12

$x = \frac{π}{4}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{4}$ adalah maksimum lokal

Langkah 13

Tentukan nilai y ketika

$x = \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti variabel

$x$ dengan

$\frac{π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Langkah 13.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.1

Faktorkan

$2$ dari

$4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Langkah 13.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Langkah 13.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 13.2.2

Nilai eksak dari

$\sin (\frac{π}{2})$ adalah

$1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 13.2.3

Kalikan

$\frac{1}{2}$ dengan

$1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

Langkah 13.2.4

Jawaban akhirnya adalah

$\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Langkah 14

Evaluasi turunan kedua pada

$x = \frac{3 π}{4}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Langkah 15

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Faktorkan

$2$ dari

$4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

Langkah 15.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Langkah 15.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 15.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 15.3

Nilai eksak dari

$\sin (\frac{π}{2})$ adalah

$1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 15.4

Kalikan

$- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Langkah 15.4.2

Kalikan

$- 2$ dengan

$- 1$ .

$2$

Langkah 16

$x = \frac{3 π}{4}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{3 π}{4}$ adalah minimum lokal

Langkah 17

Tentukan nilai y ketika

$x = \frac{3 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Ganti variabel

$x$ dengan

$\frac{3 π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Langkah 17.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.1

Faktorkan

$2$ dari

$4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

Langkah 17.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

Langkah 17.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 17.2.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 17.2.3

Nilai eksak dari

$\sin (\frac{π}{2})$ adalah

$1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Langkah 17.2.4

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot - 1$

Langkah 17.2.5

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1}{2}$

Langkah 17.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2}$

Langkah 17.2.7

Jawaban akhirnya adalah

$- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Langkah 18

Ini adalah ekstrem lokal untuk

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{1}{2})$ adalah maksimum lokal

$(\frac{3 π}{4}, - \frac{1}{2})$ adalah minimum lokal

Langkah 19