Prakalkulus Contoh

$2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 13, \pm 26, \pm 52$

$q = \pm 1, \pm 2$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 13, \pm \frac{13}{2}, \pm 26, \pm 52$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

$2 {(\frac{1}{2})}^{4} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = \frac{1}{2}$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Langkah 4.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 \frac{1}{2^{4}} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Langkah 4.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$2 (\frac{1}{16}) - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Langkah 4.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$2 \frac{1}{2 (8)} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Langkah 4.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Langkah 4.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{8} - 5 {(\frac{1}{2})}^{3} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Langkah 4.1.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - 5 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Langkah 4.1.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{8} - 5 \frac{1}{2^{3}} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Langkah 4.1.7

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{8} - 5 (\frac{1}{8}) - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Langkah 4.1.8

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{- 5}{8} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Langkah 4.1.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 20 {(\frac{1}{2})}^{2} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Langkah 4.1.10

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 20 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Langkah 4.1.11

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 20 \frac{1}{2^{2}} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Langkah 4.1.12

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 20 (\frac{1}{4}) + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Langkah 4.1.13

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.13.1

Faktorkan $4$ dari $- 20$ .

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} + 4 (- 5) \frac{1}{4} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Langkah 4.1.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} + 4 \cdot - 5 \frac{1}{4} + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Langkah 4.1.13.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 5 + 115 (\frac{1}{2}) - 52$

Langkah 4.1.14

Gabungkan $115$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 5 + \frac{115}{2} - 52$

Langkah 4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 5 - 52 + \frac{1 - 5}{8} + \frac{115}{2}$

Langkah 4.2.2

Kurangi $5$ dengan $1$ .

$- 5 - 52 + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Langkah 4.3

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tulis $- 5$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{- 5}{1} - 52 + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Langkah 4.3.2

Kalikan $\frac{- 5}{1}$ dengan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 5}{1} \cdot \frac{8}{8} - 52 + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Langkah 4.3.3

Kalikan $\frac{- 5}{1}$ dengan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} - 52 + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Langkah 4.3.4

Tulis $- 52$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52}{1} + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Langkah 4.3.5

Kalikan $\frac{- 52}{1}$ dengan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Langkah 4.3.6

Kalikan $\frac{- 52}{1}$ dengan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2}$

Langkah 4.3.7

Kalikan $\frac{115}{2}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 4.3.8

Kalikan $\frac{115}{2}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Langkah 4.3.9

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{8} + \frac{- 52 \cdot 8}{8} + \frac{- 4}{8} + \frac{115 \cdot 4}{8}$

Langkah 4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 5 \cdot 8 - 52 \cdot 8 - 4 + 115 \cdot 4}{8}$

Langkah 4.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Kalikan $- 5$ dengan $8$ .

$\frac{- 40 - 52 \cdot 8 - 4 + 115 \cdot 4}{8}$

Langkah 4.5.2

Kalikan $- 52$ dengan $8$ .

$\frac{- 40 - 416 - 4 + 115 \cdot 4}{8}$

Langkah 4.5.3

Kalikan $115$ dengan $4$ .

$\frac{- 40 - 416 - 4 + 460}{8}$

Langkah 4.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Kurangi $416$ dengan $- 40$ .

$\frac{- 456 - 4 + 460}{8}$

Langkah 4.6.2

Kurangi $4$ dengan $- 456$ .

$\frac{- 460 + 460}{8}$

Langkah 4.6.3

Tambahkan $- 460$ dan $460$ .

$\frac{0}{8}$

Langkah 4.6.4

Bagilah $0$ dengan $8$ .

$0$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{2}$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - \frac{1}{2}$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52}{x - \frac{1}{2}}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(2)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$

	$2$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(2)$ dengan pembagi $(\frac{1}{2})$ dan tempatkan hasil $(1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 5)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$
	$2$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$
	$2$	$- 4$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 4)$ dengan pembagi $(\frac{1}{2})$ dan tempatkan hasil $(- 2)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 20)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$
	$2$	$- 4$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$
	$2$	$- 4$	$- 22$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 22)$ dengan pembagi $(\frac{1}{2})$ dan tempatkan hasil $(- 11)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(115)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$	$- 11$
	$2$	$- 4$	$- 22$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$	$- 11$
	$2$	$- 4$	$- 22$	$104$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(104)$ dengan pembagi $(\frac{1}{2})$ dan tempatkan hasil $(52)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 52)$ .

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$	$- 11$	$52$
	$2$	$- 4$	$- 22$	$104$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 5$	$- 20$	$115$	$- 52$
		$1$	$- 2$	$- 11$	$52$
	$2$	$- 4$	$- 22$	$104$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$2 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 22) x + 104$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$2 x^{3} - 4 x^{2} - 22 x + 104$

Langkah 7

Faktorkan $2$ dari $2 x^{3} - 4 x^{2} - 22 x + 104$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) - 4 x^{2} - 22 x + 104)$

Langkah 7.2

Faktorkan $2$ dari $- 4 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) - 22 x + 104)$

Langkah 7.3

Faktorkan $2$ dari $- 22 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 104)$

Langkah 7.4

Faktorkan $2$ dari $104$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 2 \cdot 52)$

Langkah 7.5

Faktorkan $2$ dari $2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2})$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 2 \cdot 52)$

Langkah 7.6

Faktorkan $2$ dari $2 (x^{3} - 2 x^{2}) + 2 (- 11 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 2 x^{2} - 11 x) + 2 \cdot 52)$

Langkah 7.7

Faktorkan $2$ dari $2 (x^{3} - 2 x^{2} - 11 x) + 2 \cdot 52$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 2 x^{2} - 11 x + 52))$

Langkah 8

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$- 5 x^{3} - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Langkah 8.2

Faktorkan $- 5 x^{2}$ dari $- 5 x^{3} - 20 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Faktorkan $- 5 x^{2}$ dari $- 5 x^{3}$ .

$- 5 x^{2} x - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Langkah 8.2.2

Faktorkan $- 5 x^{2}$ dari $- 20 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} x - 5 x^{2} \cdot 4 + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Langkah 8.2.3

Faktorkan $- 5 x^{2}$ dari $- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (4)$ .

$- 5 x^{2} (x + 4) + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Langkah 8.3

Faktorkan $2 x^{4} + 115 x - 52$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

$p = \pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13$

$q = \pm 1, \pm 2$

Langkah 8.3.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 52, \pm 26, \pm 2, \pm 13, \pm 4, \pm 6.5$

Langkah 8.3.3

Substitusikan $- 4$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 4$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Substitusikan $- 4$ ke dalam polinomialnya.

$2 {(- 4)}^{4} + 115 \cdot - 4 - 52$

Langkah 8.3.3.2

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $4$ .

$2 \cdot 256 + 115 \cdot - 4 - 52$

Langkah 8.3.3.3

Kalikan $2$ dengan $256$ .

$512 + 115 \cdot - 4 - 52$

Langkah 8.3.3.4

Kalikan $115$ dengan $- 4$ .

$512 - 460 - 52$

Langkah 8.3.3.5

Kurangi $460$ dengan $512$ .

$52 - 52$

Langkah 8.3.3.6

Kurangi $52$ dengan $52$ .

$0$

Langkah 8.3.4

Karena $- 4$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 4$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{2 x^{4} + 115 x - 52}{x + 4}$

Langkah 8.3.5

Bagilah $2 x^{4} + 115 x - 52$ dengan $x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

Langkah 8.3.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x^{4}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

Langkah 8.3.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Langkah 8.3.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x^{4} + 8 x^{3}$

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Langkah 8.3.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Langkah 8.3.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

Langkah 8.3.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 8 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

Langkah 8.3.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Langkah 8.3.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 8 x^{3} - 32 x^{2}$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Langkah 8.3.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Langkah 8.3.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

Langkah 8.3.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $32 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

Langkah 8.3.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

Langkah 8.3.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $32 x^{2} + 128 x$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

Langkah 8.3.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

Langkah 8.3.5.16

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

Langkah 8.3.5.17

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 13 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

Langkah 8.3.5.18

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

Langkah 8.3.5.19

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 13 x - 52$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

Langkah 8.3.5.20

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

$0$

Langkah 8.3.5.21

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13$

Langkah 8.3.6

Tulis $2 x^{4} + 115 x - 52$ sebagai himpunan faktor.

$- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Langkah 8.4

Faktorkan $x + 4$ dari $- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Faktorkan $x + 4$ dari $- 5 x^{2} (x + 4)$ .

$(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Langkah 8.4.2

Faktorkan $x + 4$ dari $(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ .

$(x + 4) (- 5 x^{2} + 2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Langkah 8.5

Kurangi $8 x^{2}$ dengan $- 5 x^{2}$ .

$(x + 4) (2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Langkah 8.6

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Faktorkan $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1.1

$p = \pm 1, \pm 13$

$q = \pm 1, \pm 2$

Langkah 8.6.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 13, \pm 6.5$

Langkah 8.6.1.3

Substitusikan $0.5$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $0.5$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1.3.1

Substitusikan $0.5$ ke dalam polinomialnya.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Langkah 8.6.1.3.2

Naikkan $0.5$ menjadi pangkat $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Langkah 8.6.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $0.125$ .

$0.25 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Langkah 8.6.1.3.4

Naikkan $0.5$ menjadi pangkat $2$ .

$0.25 - 13 \cdot 0.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Langkah 8.6.1.3.5

Kalikan $- 13$ dengan $0.25$ .

$0.25 - 3.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Langkah 8.6.1.3.6

Kurangi $3.25$ dengan $0.25$ .

$- 3 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Langkah 8.6.1.3.7

Kalikan $32$ dengan $0.5$ .

$- 3 + 16 - 13$

Langkah 8.6.1.3.8

Tambahkan $- 3$ dan $16$ .

$13 - 13$

Langkah 8.6.1.3.9

Kurangi $13$ dengan $13$ .

$0$

Langkah 8.6.1.4

Karena $0.5$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $2 x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13}{2 x - 1}$

Langkah 8.6.1.5

Bagilah $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ dengan $2 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$32 x$

$13$

Langkah 8.6.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$

Langkah 8.6.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Langkah 8.6.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Langkah 8.6.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Langkah 8.6.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

Langkah 8.6.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 12 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

Langkah 8.6.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$6 x$

Langkah 8.6.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 12 x^{2} + 6 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$

Langkah 8.6.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$

Langkah 8.6.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

Langkah 8.6.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $26 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

Langkah 8.6.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							+	$26 x$	-	$13$

Langkah 8.6.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $26 x - 13$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$

Langkah 8.6.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$
										$0$

Langkah 8.6.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} - 6 x + 13$

Langkah 8.6.1.6

Tulis $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ sebagai himpunan faktor.

$(x + 4) ((2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13)) = 0$

Langkah 8.6.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x + 4) (2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13) = 0$

Langkah 9

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$

Langkah 10

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Atur $x + 4$ sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 10.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 11

Atur $2 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Atur $2 x - 1$ sama dengan $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Langkah 11.2

Selesaikan $2 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 1$

Langkah 11.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 11.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 11.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 12

Atur $x^{2} - 6 x + 13$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Atur $x^{2} - 6 x + 13$ sama dengan $0$ .

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$

Langkah 12.2

Selesaikan $x^{2} - 6 x + 13 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 12.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 6$ , dan $c = 13$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.1.1

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.2.3.1.3

Kurangi $52$ dengan $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.2.3.1.4

Tulis kembali $- 16$ sebagai $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (16)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.2.3.1.7

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.2.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.2.3.1.9

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 12.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Langkah 12.2.3.3

Sederhanakan $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Langkah 12.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Langkah 13

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 4) (2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13) = 0$ benar.

$x = - 4, \frac{1}{2}, 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Langkah 14