Prakalkulus Contoh

$6 x^{3} - 41 x^{2} - 8 x + 7$

Langkah 1

Atur $6 x^{3} - 41 x^{2} - 8 x + 7$ sama dengan $0$ .

$6 x^{3} - 41 x^{2} - 8 x + 7 = 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Faktorkan $6 x^{3} - 41 x^{2} - 8 x + 7$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Langkah 2.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 7, \pm 1.1\overline{6}, \pm 3.5, \pm 2.\overline{3}$

Langkah 2.1.1.3

Substitusikan $- 0.5$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 0.5$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1

Substitusikan $- 0.5$ ke dalam polinomialnya.

$6 {(- 0.5)}^{3} - 41 {(- 0.5)}^{2} - 8 \cdot - 0.5 + 7$

Langkah 2.1.1.3.2

Naikkan $- 0.5$ menjadi pangkat $3$ .

$6 \cdot - 0.125 - 41 {(- 0.5)}^{2} - 8 \cdot - 0.5 + 7$

Langkah 2.1.1.3.3

Kalikan $6$ dengan $- 0.125$ .

$- 0.75 - 41 {(- 0.5)}^{2} - 8 \cdot - 0.5 + 7$

Langkah 2.1.1.3.4

Naikkan $- 0.5$ menjadi pangkat $2$ .

$- 0.75 - 41 \cdot 0.25 - 8 \cdot - 0.5 + 7$

Langkah 2.1.1.3.5

Kalikan $- 41$ dengan $0.25$ .

$- 0.75 - 10.25 - 8 \cdot - 0.5 + 7$

Langkah 2.1.1.3.6

Kurangi $10.25$ dengan $- 0.75$ .

$- 11 - 8 \cdot - 0.5 + 7$

Langkah 2.1.1.3.7

Kalikan $- 8$ dengan $- 0.5$ .

$- 11 + 4 + 7$

Langkah 2.1.1.3.8

Tambahkan $- 11$ dan $4$ .

$- 7 + 7$

Langkah 2.1.1.3.9

Tambahkan $- 7$ dan $7$ .

$0$

Langkah 2.1.1.4

Karena $- 0.5$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $2 x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{6 x^{3} - 41 x^{2} - 8 x + 7}{2 x + 1}$

Langkah 2.1.1.5

Bagilah $6 x^{3} - 41 x^{2} - 8 x + 7$ dengan $2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$2 x$

$1$

$6 x^{3}$

$41 x^{2}$

$8 x$

$7$

Langkah 2.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $6 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

					$3 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$41 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$

Langkah 2.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$3 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$41 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			+	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $6 x^{3} + 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$41 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$3 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$41 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$44 x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$3 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$41 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$44 x^{2}$	-	$8 x$

Langkah 2.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 44 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$22 x$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$41 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$44 x^{2}$	-	$8 x$

Langkah 2.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$3 x^{2}$	-	$22 x$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$41 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$44 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$44 x^{2}$	-	$22 x$

Langkah 2.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 44 x^{2} - 22 x$

				$3 x^{2}$	-	$22 x$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$41 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$44 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$44 x^{2}$	+	$22 x$

Langkah 2.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$3 x^{2}$	-	$22 x$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$41 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$44 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$44 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$14 x$

Langkah 2.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$3 x^{2}$	-	$22 x$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$41 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$44 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$44 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$14 x$	+	$7$

Langkah 2.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $14 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$22 x$	+	$7$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$41 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$44 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$44 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$14 x$	+	$7$

Langkah 2.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$3 x^{2}$	-	$22 x$	+	$7$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$41 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$44 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$44 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$14 x$	+	$7$
							+	$14 x$	+	$7$

Langkah 2.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $14 x + 7$

				$3 x^{2}$	-	$22 x$	+	$7$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$41 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$44 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$44 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$14 x$	+	$7$
							-	$14 x$	-	$7$

Langkah 2.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$3 x^{2}$	-	$22 x$	+	$7$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$41 x^{2}$	-	$8 x$	+	$7$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$44 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$44 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$14 x$	+	$7$
							-	$14 x$	-	$7$
										$0$

Langkah 2.1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$3 x^{2} - 22 x + 7$

Langkah 2.1.1.6

Tulis $6 x^{3} - 41 x^{2} - 8 x + 7$ sebagai himpunan faktor.

$(2 x + 1) (3 x^{2} - 22 x + 7) = 0$

Langkah 2.1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot 7 = 21$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 22$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1.1

Faktorkan $- 22$ dari $- 22 x$ .

$(2 x + 1) (3 x^{2} - 22 x + 7) = 0$

Langkah 2.1.2.1.1.2

Tulis kembali $- 22$ sebagai $- 1$ ditambah $- 21$

$(2 x + 1) (3 x^{2} + (- 1 - 21) x + 7) = 0$

Langkah 2.1.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(2 x + 1) (3 x^{2} - 1 x - 21 x + 7) = 0$

Langkah 2.1.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(2 x + 1) ((3 x^{2} - 1 x) - 21 x + 7) = 0$

Langkah 2.1.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(2 x + 1) (x (3 x - 1) - 7 (3 x - 1)) = 0$

Langkah 2.1.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $3 x - 1$ .

$(2 x + 1) ((3 x - 1) (x - 7)) = 0$

Langkah 2.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(2 x + 1) (3 x - 1) (x - 7) = 0$

Langkah 2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$3 x - 1 = 0$

$x - 7 = 0$

Langkah 2.3

Atur $2 x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Atur $2 x + 1$ sama dengan $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Langkah 2.3.2

Selesaikan $2 x + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x = - 1$

Langkah 2.3.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 2.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 2.3.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Langkah 2.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{1}{2}$

Langkah 2.4

Atur $3 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $3 x - 1$ sama dengan $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $3 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x = 1$

Langkah 2.4.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = 1$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 2.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 2.4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Langkah 2.5

Atur $x - 7$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x - 7$ sama dengan $0$ .

$x - 7 = 0$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $7$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 7$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 x + 1) (3 x - 1) (x - 7) = 0$ benar.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 7$

Langkah 3