Prakalkulus Contoh

$\frac{x - 4}{x + 11} \geq \frac{1}{x - 1}$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{1}{x - 1}$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$\frac{x - 4}{x + 11} - \frac{1}{x - 1} \geq 0$

Langkah 2

Sederhanakan $\frac{x - 4}{x + 11} - \frac{1}{x - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menuliskan $\frac{x - 4}{x + 11}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 4}{x + 11} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \geq 0$

Langkah 2.2

Untuk menuliskan $- \frac{1}{x - 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + 11}{x + 11}$ .

$\frac{x - 4}{x + 11} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 11}{x + 11} \geq 0$

Langkah 2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(x + 11) (x - 1)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $\frac{x - 4}{x + 11}$ dengan $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 11}{x + 11} \geq 0$

Langkah 2.3.2

Kalikan $\frac{1}{x - 1}$ dengan $\frac{x + 11}{x + 11}$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{x + 11}{(x - 1) (x + 11)} \geq 0$

Langkah 2.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari $(x - 1) (x + 11)$ .

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{(x + 11) (x - 1)} - \frac{x + 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Langkah 2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(x - 4) (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Langkah 2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Perluas $(x - 4) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (x - 1) - 4 (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Langkah 2.5.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 (x - 1) - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Langkah 2.5.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Langkah 2.5.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Langkah 2.5.2.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Langkah 2.5.2.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{x^{2} - x - 4 x - 4 \cdot - 1 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Langkah 2.5.2.1.4

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x - 4 x + 4 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Langkah 2.5.2.2

Kurangi $4 x$ dengan $- x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - (x + 11)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Langkah 2.5.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x - 1 \cdot 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Langkah 2.5.4

Kalikan $- 1$ dengan $11$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 - x - 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Langkah 2.5.5

Kurangi $x$ dengan $- 5 x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 4 - 11}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Langkah 2.5.6

Kurangi $11$ dengan $4$ .

$\frac{x^{2} - 6 x - 7}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Langkah 2.5.7

Faktorkan $x^{2} - 6 x - 7$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.7.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 7$ dan jumlahnya $- 6$ .

$- 7, 1$

Langkah 2.5.7.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)} \geq 0$

Langkah 3

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 11 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 4

Tambahkan $7$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 7$

Langkah 5

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 6

Kurangkan $11$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 11$

Langkah 7

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 8

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = 7$

$x = - 1$

$x = - 11$

$x = 1$

Langkah 9

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = 7, - 1, - 11, 1$

Langkah 10

Tentukan domain dari $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Atur penyebut dalam $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x + 11) (x - 1)}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$(x + 11) (x - 1) = 0$

Langkah 10.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 11 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 10.2.2

Atur $x + 11$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Atur $x + 11$ sama dengan $0$ .

$x + 11 = 0$

Langkah 10.2.2.2

Kurangkan $11$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 11$

Langkah 10.2.3

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 10.2.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 10.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 11) (x - 1) = 0$ benar.

$x = - 11, 1$

Langkah 10.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - 11) \cup (- 11, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 11

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 11$

$- 11 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Langkah 12

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Uji nilai pada interval $x < - 11$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 11$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 14$

Langkah 12.1.2

Ganti $x$ dengan $- 14$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(- 14) - 4}{(- 14) + 11} \geq \frac{1}{(- 14) - 1}$

Langkah 12.1.3

Sisi kiri $6$ lebih besar dari sisi kanan $- 0.0\overline{6}$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 12.2

Uji nilai pada interval $- 11 < x < - 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Pilih nilai pada interval $- 11 < x < - 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 6$

Langkah 12.2.2

Ganti $x$ dengan $- 6$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(- 6) - 4}{(- 6) + 11} \geq \frac{1}{(- 6) - 1}$

Langkah 12.2.3

Sisi kiri $- 2$ lebih kecil dari sisi kanan $- 0.\overline{142857}$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 12.3

Uji nilai pada interval $- 1 < x < 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Pilih nilai pada interval $- 1 < x < 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 12.3.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(0) - 4}{(0) + 11} \geq \frac{1}{(0) - 1}$

Langkah 12.3.3

Sisi kiri $- 0.\overline{36}$ lebih besar dari sisi kanan $- 1$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 12.4

Uji nilai pada interval $1 < x < 7$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Pilih nilai pada interval $1 < x < 7$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 12.4.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(4) - 4}{(4) + 11} \geq \frac{1}{(4) - 1}$

Langkah 12.4.3

Sisi kiri $0$ lebih kecil dari sisi kanan $0.\overline{3}$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 12.5

Uji nilai pada interval $x > 7$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Pilih nilai pada interval $x > 7$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 10$

Langkah 12.5.2

Ganti $x$ dengan $10$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(10) - 4}{(10) + 11} \geq \frac{1}{(10) - 1}$

Langkah 12.5.3

Sisi kiri $0.\overline{285714}$ lebih besar dari sisi kanan $0.\overline{1}$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 12.6

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 11$ Benar

$- 11 < x < - 1$ Salah

$- 1 < x < 1$ Benar

$1 < x < 7$ Salah

$x > 7$ Benar

$x < - 11$ Benar

$- 11 < x < - 1$ Salah

$- 1 < x < 1$ Benar

$1 < x < 7$ Salah

$x > 7$ Benar

Langkah 13

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x < - 11$ atau $- 1 \leq x < 1$ atau $x \geq 7$

Langkah 14

Konversikan pertidaksamaan ke notasi interval.

$(- \infty, - 11) \cup [- 1, 1) \cup [7, \infty)$

Langkah 15