Prakalkulus Contoh

$2 x^{3} - 32 x < x^{2} - 16$

Langkah 1

Kurangkan $x^{2}$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$2 x^{3} - 32 x - x^{2} < - 16$

Langkah 2

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$2 x^{3} - 32 x - x^{2} = - 16$

Langkah 3

Tambahkan $16$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x^{3} - 32 x - x^{2} + 16 = 0$

Langkah 4

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Susun kembali suku-suku.

$2 x^{3} - x^{2} - 32 x + 16 = 0$

Langkah 4.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(2 x^{3} - x^{2}) - 32 x + 16 = 0$

Langkah 4.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$x^{2} (2 x - 1) - 16 (2 x - 1) = 0$

Langkah 4.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x^{2} - 16) = 0$

Langkah 4.4

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$(2 x - 1) (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Langkah 4.5

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 4$ .

$(2 x - 1) ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Langkah 4.5.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(2 x - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$

Langkah 5

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Langkah 6

Atur $2 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $2 x - 1$ sama dengan $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $2 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 1$

Langkah 6.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 6.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 6.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 7

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $x + 4$ sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 7.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 8

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Atur $x - 4$ sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 8.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 9

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 x - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$ benar.

$x = \frac{1}{2}, - 4, 4$

Langkah 10

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 4$

$- 4 < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 4$

$x > 4$

Langkah 11

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Uji nilai pada interval $x < - 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 6$

Langkah 11.1.2

Ganti $x$ dengan $- 6$ pada pertidaksamaan asal.

$2 {(- 6)}^{3} - 32 \cdot - 6 < {(- 6)}^{2} - 16$

Langkah 11.1.3

Sisi kiri $- 240$ lebih kecil dari sisi kanan $20$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 11.2

Uji nilai pada interval $- 4 < x < \frac{1}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Pilih nilai pada interval $- 4 < x < \frac{1}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 11.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$2 {(0)}^{3} - 32 \cdot 0 < {(0)}^{2} - 16$

Langkah 11.2.3

Sisi kiri $0$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $- 16$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 11.3

Uji nilai pada interval $\frac{1}{2} < x < 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Pilih nilai pada interval $\frac{1}{2} < x < 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 2$

Langkah 11.3.2

Ganti $x$ dengan $2$ pada pertidaksamaan asal.

$2 {(2)}^{3} - 32 \cdot 2 < {(2)}^{2} - 16$

Langkah 11.3.3

Sisi kiri $- 48$ lebih kecil dari sisi kanan $- 12$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 11.4

Uji nilai pada interval $x > 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Pilih nilai pada interval $x > 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 6$

Langkah 11.4.2

Ganti $x$ dengan $6$ pada pertidaksamaan asal.

$2 {(6)}^{3} - 32 \cdot 6 < {(6)}^{2} - 16$

Langkah 11.4.3

Sisi kiri $240$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $20$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 11.5

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 4$ Benar

$- 4 < x < \frac{1}{2}$ Salah

$\frac{1}{2} < x < 4$ Benar

$x > 4$ Salah

$x < - 4$ Benar

$- 4 < x < \frac{1}{2}$ Salah

$\frac{1}{2} < x < 4$ Benar

$x > 4$ Salah

Langkah 12

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x < - 4$ atau $\frac{1}{2} < x < 4$

Langkah 13

Konversikan pertidaksamaan ke notasi interval.

$(- \infty, - 4) \cup (\frac{1}{2}, 4)$

Langkah 14