Prakalkulus Contoh

$- 2 x^{2} + 3 y^{2} - 8 x + 6 y - 11 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $11$ ke kedua sisi persamaan.

$- 2 x^{2} + 3 y^{2} - 8 x + 6 y = 11$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $- 2 x^{2} - 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 2$

$b = - 8$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 2}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 2}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (- 2)}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 2}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 4}{- 2}$

Langkah 1.2.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Faktorkan $- 2$ dari $- 4$ .

$d = \frac{- 2 (2)}{- 2}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.2.1

Faktorkan $- 2$ dari $- 2$ .

$d = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{2}{1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$d = 2$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 2}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 8}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Bagilah $64$ dengan $- 8$ .

$e = 0 - - 8$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 8$ .

$e = 0 + 8$

Langkah 1.2.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $8$ .

$e = 8$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- 2 {(x + 2)}^{2} + 8$ .

$- 2 {(x + 2)}^{2} + 8$

Langkah 1.3

Substitusikan $- 2 {(x + 2)}^{2} + 8$ untuk $- 2 x^{2} - 8 x$ dalam persamaan $- 2 x^{2} + 3 y^{2} - 8 x + 6 y = 11$ .

$- 2 {(x + 2)}^{2} + 8 + 3 y^{2} + 6 y = 11$

Langkah 1.4

Pindahkan $8$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $8$ ke kedua sisinya.

$- 2 {(x + 2)}^{2} + 3 y^{2} + 6 y = 11 - 8$

Langkah 1.5

Selesaikan kuadrat dari $3 y^{2} + 6 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 3$

$b = 6$

$c = 0$

Langkah 1.5.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.5.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (3)}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{3}{3}$

Langkah 1.5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{3}{3}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$d = 1$

Langkah 1.5.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 3}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$e = 0 - \frac{36}{12}$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Bagilah $36$ dengan $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$e = 0 - 3$

Langkah 1.5.4.2.2

Kurangi $3$ dengan $0$ .

$e = - 3$

Langkah 1.5.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $3 {(y + 1)}^{2} - 3$ .

$3 {(y + 1)}^{2} - 3$

Langkah 1.6

Substitusikan $3 {(y + 1)}^{2} - 3$ untuk $3 y^{2} + 6 y$ dalam persamaan $- 2 x^{2} + 3 y^{2} - 8 x + 6 y = 11$ .

$- 2 {(x + 2)}^{2} + 3 {(y + 1)}^{2} - 3 = 11 - 8$

Langkah 1.7

Pindahkan $- 3$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $3$ ke kedua sisinya.

$- 2 {(x + 2)}^{2} + 3 {(y + 1)}^{2} = 11 - 8 + 3$

Langkah 1.8

Sederhanakan $11 - 8 + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Kurangi $8$ dengan $11$ .

$- 2 {(x + 2)}^{2} + 3 {(y + 1)}^{2} = 3 + 3$

Langkah 1.8.2

Tambahkan $3$ dan $3$ .

$- 2 {(x + 2)}^{2} + 3 {(y + 1)}^{2} = 6$

Langkah 1.9

Bagi setiap suku dengan $6$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$- \frac{2 {(x + 2)}^{2}}{6} + \frac{3 {(y + 1)}^{2}}{6} = \frac{6}{6}$

Langkah 1.10

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{2} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{3} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = \sqrt{2}$

$b = \sqrt{3}$

$k = - 1$

$h = - 2$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(- 2, - 1)$

Langkah 5