Prakalkulus Contoh

$[\begin{array}{c} 12 & 23 & - 6 \\ 11 & - 8 & 13 \\ 7 & 21 & 15 \end{array}]$

Langkah 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Langkah 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 8 & 13 \\ 21 & 15 \end{array} |$

Langkah 2.1.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = - 8 \cdot 15 - 21 \cdot 13$

Langkah 2.1.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1.1

Kalikan $- 8$ dengan $15$ .

$a_{11} = - 120 - 21 \cdot 13$

Langkah 2.1.2.2.1.2

Kalikan $- 21$ dengan $13$ .

$a_{11} = - 120 - 273$

Langkah 2.1.2.2.2

Kurangi $273$ dengan $- 120$ .

$a_{11} = - 393$

Langkah 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 11 & 13 \\ 7 & 15 \end{array} |$

Langkah 2.2.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 11 \cdot 15 - 7 \cdot 13$

Langkah 2.2.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1.1

Kalikan $11$ dengan $15$ .

$a_{12} = 165 - 7 \cdot 13$

Langkah 2.2.2.2.1.2

Kalikan $- 7$ dengan $13$ .

$a_{12} = 165 - 91$

Langkah 2.2.2.2.2

Kurangi $91$ dengan $165$ .

$a_{12} = 74$

Langkah 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 11 & - 8 \\ 7 & 21 \end{array} |$

Langkah 2.3.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 11 \cdot 21 - 7 \cdot - 8$

Langkah 2.3.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1.1

Kalikan $11$ dengan $21$ .

$a_{13} = 231 - 7 \cdot - 8$

Langkah 2.3.2.2.1.2

Kalikan $- 7$ dengan $- 8$ .

$a_{13} = 231 + 56$

Langkah 2.3.2.2.2

Tambahkan $231$ dan $56$ .

$a_{13} = 287$

Langkah 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 23 & - 6 \\ 21 & 15 \end{array} |$

Langkah 2.4.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 23 \cdot 15 - 21 \cdot - 6$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1.1

Kalikan $23$ dengan $15$ .

$a_{21} = 345 - 21 \cdot - 6$

Langkah 2.4.2.2.1.2

Kalikan $- 21$ dengan $- 6$ .

$a_{21} = 345 + 126$

Langkah 2.4.2.2.2

Tambahkan $345$ dan $126$ .

$a_{21} = 471$

Langkah 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & - 6 \\ 7 & 15 \end{array} |$

Langkah 2.5.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 12 \cdot 15 - 7 \cdot - 6$

Langkah 2.5.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1.1

Kalikan $12$ dengan $15$ .

$a_{22} = 180 - 7 \cdot - 6$

Langkah 2.5.2.2.1.2

Kalikan $- 7$ dengan $- 6$ .

$a_{22} = 180 + 42$

Langkah 2.5.2.2.2

Tambahkan $180$ dan $42$ .

$a_{22} = 222$

Langkah 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 23 \\ 7 & 21 \end{array} |$

Langkah 2.6.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 12 \cdot 21 - 7 \cdot 23$

Langkah 2.6.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1.1

Kalikan $12$ dengan $21$ .

$a_{23} = 252 - 7 \cdot 23$

Langkah 2.6.2.2.1.2

Kalikan $- 7$ dengan $23$ .

$a_{23} = 252 - 161$

Langkah 2.6.2.2.2

Kurangi $161$ dengan $252$ .

$a_{23} = 91$

Langkah 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 23 & - 6 \\ - 8 & 13 \end{array} |$

Langkah 2.7.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 23 \cdot 13 - (- 8 \cdot - 6)$

Langkah 2.7.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.2.1.1

Kalikan $23$ dengan $13$ .

$a_{31} = 299 - (- 8 \cdot - 6)$

Langkah 2.7.2.2.1.2

Kalikan $- (- 8 \cdot - 6)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.2.1.2.1

Kalikan $- 8$ dengan $- 6$ .

$a_{31} = 299 - 1 \cdot 48$

Langkah 2.7.2.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $48$ .

$a_{31} = 299 - 48$

Langkah 2.7.2.2.2

Kurangi $48$ dengan $299$ .

$a_{31} = 251$

Langkah 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & - 6 \\ 11 & 13 \end{array} |$

Langkah 2.8.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 12 \cdot 13 - 11 \cdot - 6$

Langkah 2.8.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.2.1.1

Kalikan $12$ dengan $13$ .

$a_{32} = 156 - 11 \cdot - 6$

Langkah 2.8.2.2.1.2

Kalikan $- 11$ dengan $- 6$ .

$a_{32} = 156 + 66$

Langkah 2.8.2.2.2

Tambahkan $156$ dan $66$ .

$a_{32} = 222$

Langkah 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 23 \\ 11 & - 8 \end{array} |$

Langkah 2.9.2

Evaluate the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 12 \cdot - 8 - 11 \cdot 23$

Langkah 2.9.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.2.2.1.1

Kalikan $12$ dengan $- 8$ .

$a_{33} = - 96 - 11 \cdot 23$

Langkah 2.9.2.2.1.2

Kalikan $- 11$ dengan $23$ .

$a_{33} = - 96 - 253$

Langkah 2.9.2.2.2

Kurangi $253$ dengan $- 96$ .

$a_{33} = - 349$

Langkah 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} - 393 & - 74 & 287 \\ - 471 & 222 & - 91 \\ 251 & - 222 & - 349 \end{array}]$