Prakalkulus Contoh

$y = 2 x^{2} - 5$

Langkah 1

Saling tukar variabel.

$x = 2 y^{2} - 5$

Langkah 2

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 y^{2} - 5 = x$ .

$2 y^{2} - 5 = x$

Langkah 2.2

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$2 y^{2} = x + 5$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $2 y^{2} = x + 5$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $2 y^{2} = x + 5$ dengan $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Langkah 2.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} + \frac{5}{2}}$

Langkah 2.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{x}{2} + \frac{5}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 5}{2}}$

Langkah 2.5.2

Tulis kembali $\sqrt{\frac{x + 5}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}}$

Langkah 2.5.3

Kalikan $\frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 2.5.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Kalikan $\frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 2.5.4.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 2.5.4.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 2.5.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 2.5.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 2.5.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.5.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.5.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.5.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.5.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 2.5.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{2}}{2}$

Langkah 2.5.5

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 5) \cdot 2}}{2}$

Langkah 2.5.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm \frac{\sqrt{(x + 5) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Langkah 2.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Langkah 2.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Langkah 2.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Langkah 3

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Langkah 4

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ merupakan balikan dari $f (x) = 2 x^{2} - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Domain dari balikan adalah daerah hasil dari fungsi asal dan sebaliknya. Tentukan domain dan daerah hasil dari $f (x) = 2 x^{2} - 5$ dan $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ dan bandingkan.

Langkah 4.2

Tentukan daerah hasil dari $f (x) = 2 x^{2} - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$[- 5, \infty)$

Langkah 4.3

Tentukan domain dari $\frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{2 (x + 5)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$2 (x + 5) \geq 0$

Langkah 4.3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Bagi setiap suku pada $2 (x + 5) \geq 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Bagilah setiap suku di $2 (x + 5) \geq 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 (x + 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Langkah 4.3.2.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (x + 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Langkah 4.3.2.1.2.1.2

Bagilah $x + 5$ dengan $1$ .

$x + 5 \geq \frac{0}{2}$

Langkah 4.3.2.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$x + 5 \geq 0$

Langkah 4.3.2.2

Kurangkan $5$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x \geq - 5$

Langkah 4.3.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$[- 5, \infty)$

Langkah 4.4

Tentukan domain dari $f (x) = 2 x^{2} - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

$(- \infty, \infty)$

Langkah 4.5

Karena domain dari $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ adalah daerah hasil dari $f (x) = 2 x^{2} - 5$ dan daerah hasil dari $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ adalah domain dari $f (x) = 2 x^{2} - 5$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$ merupakan balikan dari $f (x) = 2 x^{2} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 5)}}{2}$

Langkah 5