Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 x^{2} - 20}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 x^{2} - 20}$ tidak terdefinisi.

$x = - 2, x = 2$

Langkah 2

Karena $\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 x^{2} - 20}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $- 2$ dari kiri dan $\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 x^{2} - 20}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- 2$ dari kanan, maka $x = - 2$ adalah asimtot tegak.

$x = - 2$

Langkah 3

Karena $\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 x^{2} - 20}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $2$ dari kiri dan $\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 x^{2} - 20}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $2$ dari kanan, maka $x = 2$ adalah asimtot tegak.

$x = 2$

Langkah 4

Sebutkan semua asimtot tegaknya:

$x = - 2, 2$

Langkah 5

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 6

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Langkah 7

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 8

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Faktorkan $5$ dari $5 x^{2} - 20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.1

Faktorkan $5$ dari $5 x^{2}$ .

$\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 (x^{2}) - 20}$

Langkah 8.1.1.2

Faktorkan $5$ dari $- 20$ .

$\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 x^{2} + 5 \cdot - 4}$

Langkah 8.1.1.3

Faktorkan $5$ dari $5 x^{2} + 5 \cdot - 4$ .

$\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 (x^{2} - 4)}$

Langkah 8.1.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 (x^{2} - 2^{2})}$

Langkah 8.1.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 (x + 2) (x - 2)}$

Langkah 8.2

Perluas $5 (x + 2) (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{(5 x + 5 \cdot 2) (x - 2)}$

Langkah 8.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 x (x - 2) + 5 \cdot (2 (x - 2))}$

Langkah 8.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 x \cdot x + 5 x \cdot - 2 + 5 \cdot (2 (x - 2))}$

Langkah 8.2.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 x \cdot x + 5 x \cdot - 2 + 5 \cdot (2 x) + 5 \cdot 2 \cdot - 2}$

Langkah 8.2.5

Pindahkan $x$ .

$\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 x \cdot x + 5 \cdot (- 2 x) + 5 \cdot (2 x) + 5 \cdot 2 \cdot - 2}$

Langkah 8.2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 (x \cdot x) + 5 \cdot (- 2 x) + 5 \cdot (2 x) + 5 \cdot 2 \cdot - 2}$

Langkah 8.2.7

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 (x \cdot x) + 5 \cdot (- 2 x) + 5 \cdot (2 x) + 5 \cdot 2 \cdot - 2}$

Langkah 8.2.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 x^{1 + 1} + 5 \cdot (- 2 x) + 5 \cdot (2 x) + 5 \cdot 2 \cdot - 2}$

Langkah 8.2.9

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 x^{2} + 5 \cdot (- 2 x) + 5 \cdot (2 x) + 5 \cdot 2 \cdot - 2}$

Langkah 8.2.10

Kalikan $5$ dengan $- 2$ .

$\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 x^{2} - 10 x + 5 \cdot (2 x) + 5 \cdot 2 \cdot - 2}$

Langkah 8.2.11

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 x^{2} - 10 x + 10 x + 5 \cdot 2 \cdot - 2}$

Langkah 8.2.12

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 x^{2} - 10 x + 10 x + 10 \cdot - 2}$

Langkah 8.2.13

Kalikan $10$ dengan $- 2$ .

$\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 x^{2} - 10 x + 10 x - 20}$

Langkah 8.2.14

Tambahkan $- 10 x$ dan $10 x$ .

$\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 x^{2} + 0 - 20}$

Langkah 8.2.15

Kurangi $20$ dengan $0$ .

$\frac{8 x^{3} - 4 x - 3}{5 x^{2} - 20}$

Langkah 8.3

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$5 x^{2}$

$0 x$

$20$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$3$

Langkah 8.4

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $8 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $5 x^{2}$ .

$\frac{8 x}{5}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$20$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$3$

Langkah 8.5

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$\frac{8 x}{5}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$20$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$3$

$8 x^{3}$

$0$

$32 x$

Langkah 8.6

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $8 x^{3} + 0 - 32 x$

						$\frac{8 x}{5}$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$20$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
					-	$8 x^{3}$	-	$0$	+	$32 x$

Langkah 8.7

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$\frac{8 x}{5}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$20$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$3$

$8 x^{3}$

$0$

$32 x$

$28 x$

Langkah 8.8

Mengeluarkan suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

						$\frac{8 x}{5}$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$20$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
					-	$8 x^{3}$	-	$0$	+	$32 x$
									+	$28 x$	-	$3$

Langkah 8.9

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\frac{8 x}{5} + \frac{28 x - 3}{5 x^{2} - 20}$

Langkah 8.10

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = \frac{8 x}{5}$

Langkah 9

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - 2, 2$

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = \frac{8 x}{5}$

Langkah 10