Prakalkulus Contoh

$x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2 = 0$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 1$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - 5 {(1)}^{3} + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

Langkah 4.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - 5 \cdot 1 + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

Langkah 4.1.3

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$1 - 5 + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

Langkah 4.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - 5 + 9 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 2$

Langkah 4.1.5

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$1 - 5 + 9 - 7 \cdot 1 + 2$

Langkah 4.1.6

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$1 - 5 + 9 - 7 + 2$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $5$ dengan $1$ .

$- 4 + 9 - 7 + 2$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $- 4$ dan $9$ .

$5 - 7 + 2$

Langkah 4.2.3

Kurangi $7$ dengan $5$ .

$- 2 + 2$

Langkah 4.2.4

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$0$

Langkah 5

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2}{x - 1}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 5)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$
	$1$	$- 4$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 4)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(- 4)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(9)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$	$5$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(5)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(5)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 7)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$
	$1$	$- 4$	$5$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$
	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 2)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(- 2)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(2)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (5) x - 2$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$

Langkah 7

Selesaikan persamaan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Faktorkan $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Langkah 7.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Langkah 7.1.1.3

Substitusikan $1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.1

Substitusikan $1$ ke dalam polinomialnya.

$1^{3} - 4 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 2$

Langkah 7.1.1.3.2

Naikkan $1$ menjadi pangkat $3$ .

$1 - 4 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 2$

Langkah 7.1.1.3.3

Naikkan $1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 - 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 2$

Langkah 7.1.1.3.4

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$1 - 4 + 5 \cdot 1 - 2$

Langkah 7.1.1.3.5

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$- 3 + 5 \cdot 1 - 2$

Langkah 7.1.1.3.6

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$- 3 + 5 - 2$

Langkah 7.1.1.3.7

Tambahkan $- 3$ dan $5$ .

$2 - 2$

Langkah 7.1.1.3.8

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$0$

Langkah 7.1.1.4

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2}{x - 1}$

Langkah 7.1.1.5

Bagilah $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ dengan $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$2$

Langkah 7.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$

Langkah 7.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Langkah 7.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Langkah 7.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Langkah 7.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$

Langkah 7.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 3 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$

Langkah 7.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Langkah 7.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 3 x^{2} + 3 x$

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Langkah 7.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$

Langkah 7.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$

Langkah 7.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$

Langkah 7.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Langkah 7.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x - 2$

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Langkah 7.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

Langkah 7.1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} - 3 x + 2$

Langkah 7.1.1.6

Tulis $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Langkah 7.1.2

Faktorkan $x^{2} - 3 x + 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Faktorkan $x^{2} - 3 x + 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $2$ dan jumlahnya $- 3$ .

$- 2, - 1$

Langkah 7.1.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x - 1) ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Langkah 7.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x - 1) (x - 2) (x - 1) = 0$

Langkah 7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 7.3

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 7.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 7.4

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 7.4.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 7.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 1) (x - 2) (x - 1) = 0$ benar.

$x = 1, 2$

Langkah 8

Polinomial dapat ditulis sebagai himpunan faktor linear.

$(x - 1) (x - 2)$

Langkah 9

Ini adalah akar-akar (nol) dari polinomial $x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2$ .

$x = 1, 2$

Langkah 10