Prakalkulus Contoh

$9 x^{2} + 16 y^{2} + 54 x - 32 y - 47 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $47$ ke kedua sisi persamaan.

$9 x^{2} + 16 y^{2} + 54 x - 32 y = 47$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $9 x^{2} + 54 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $54$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{27}{9}$

Langkah 1.2.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $27$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Faktorkan $9$ dari $27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.2.1

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{3}{1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$d = 3$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $54$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Bagilah $2916$ dengan $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $81$ .

$e = 0 - 81$

Langkah 1.2.4.2.2

Kurangi $81$ dengan $0$ .

$e = - 81$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $9 {(x + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(x + 3)}^{2} - 81$

Langkah 1.3

Substitusikan $9 {(x + 3)}^{2} - 81$ untuk $9 x^{2} + 54 x$ dalam persamaan $9 x^{2} + 16 y^{2} + 54 x - 32 y = 47$ .

$9 {(x + 3)}^{2} - 81 + 16 y^{2} - 32 y = 47$

Langkah 1.4

Pindahkan $- 81$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $81$ ke kedua sisinya.

$9 {(x + 3)}^{2} + 16 y^{2} - 32 y = 47 + 81$

Langkah 1.5

Selesaikan kuadrat dari $16 y^{2} - 32 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 16$

$b = - 32$

$c = 0$

Langkah 1.5.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.5.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 16}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 32$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 16}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (16)}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 16}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 16}{16}$

Langkah 1.5.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 16$ dan $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Faktorkan $16$ dari $- 16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.2.1

Faktorkan $16$ dari $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16 (1)}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16 \cdot 1}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 1}{1}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$d = - 1$

Langkah 1.5.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Naikkan $- 32$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 16}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $16$ .

$e = 0 - \frac{1024}{64}$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Bagilah $1024$ dengan $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$e = 0 - 16$

Langkah 1.5.4.2.2

Kurangi $16$ dengan $0$ .

$e = - 16$

Langkah 1.5.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $16 {(y - 1)}^{2} - 16$ .

$16 {(y - 1)}^{2} - 16$

Langkah 1.6

Substitusikan $16 {(y - 1)}^{2} - 16$ untuk $16 y^{2} - 32 y$ dalam persamaan $9 x^{2} + 16 y^{2} + 54 x - 32 y = 47$ .

$9 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} - 16 = 47 + 81$

Langkah 1.7

Pindahkan $- 16$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $16$ ke kedua sisinya.

$9 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 47 + 81 + 16$

Langkah 1.8

Sederhanakan $47 + 81 + 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Tambahkan $47$ dan $81$ .

$9 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 128 + 16$

Langkah 1.8.2

Tambahkan $128$ dan $16$ .

$9 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 144$

Langkah 1.9

Bagi setiap suku dengan $144$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{9 {(x + 3)}^{2}}{144} + \frac{16 {(y - 1)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Langkah 1.10

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{9} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 4$

$b = 3$

$k = 1$

$h = - 3$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(- 3, 1)$

Langkah 5