Prakalkulus Contoh

$4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45 = 0$

Langkah 1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Langkah 1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 45, \pm 11.25, \pm 22.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 15, \pm 3.75, \pm 7.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5$

Langkah 1.1.3

Substitusikan $- 3$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 3$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Substitusikan $- 3$ ke dalam polinomialnya.

$4 {(- 3)}^{3} - 11 {(- 3)}^{2} - 54 \cdot - 3 + 45$

Langkah 1.1.3.2

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $3$ .

$4 \cdot - 27 - 11 {(- 3)}^{2} - 54 \cdot - 3 + 45$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $- 27$ .

$- 108 - 11 {(- 3)}^{2} - 54 \cdot - 3 + 45$

Langkah 1.1.3.4

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$- 108 - 11 \cdot 9 - 54 \cdot - 3 + 45$

Langkah 1.1.3.5

Kalikan $- 11$ dengan $9$ .

$- 108 - 99 - 54 \cdot - 3 + 45$

Langkah 1.1.3.6

Kurangi $99$ dengan $- 108$ .

$- 207 - 54 \cdot - 3 + 45$

Langkah 1.1.3.7

Kalikan $- 54$ dengan $- 3$ .

$- 207 + 162 + 45$

Langkah 1.1.3.8

Tambahkan $- 207$ dan $162$ .

$- 45 + 45$

Langkah 1.1.3.9

Tambahkan $- 45$ dan $45$ .

$0$

Langkah 1.1.4

Karena $- 3$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 3$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45}{x + 3}$

Langkah 1.1.5

Bagilah $4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45$ dengan $x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$3$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$54 x$

$45$

Langkah 1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $4 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$

Langkah 1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			+	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Langkah 1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $4 x^{3} + 12 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Langkah 1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$

Langkah 1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$

Langkah 1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 23 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$

Langkah 1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					-	$23 x^{2}$	-	$69 x$

Langkah 1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 23 x^{2} - 69 x$

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$

Langkah 1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$

Langkah 1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$

Langkah 1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $15 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$

Langkah 1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	+	$45$

Langkah 1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $15 x + 45$

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$
							-	$15 x$	-	$45$

Langkah 1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$
							-	$15 x$	-	$45$
										$0$

Langkah 1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$4 x^{2} - 23 x + 15$

Langkah 1.1.6

Tulis $4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45$ sebagai himpunan faktor.

$(x + 3) (4 x^{2} - 23 x + 15) = 0$

Langkah 1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 4 \cdot 15 = 60$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 23$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1.1

Faktorkan $- 23$ dari $- 23 x$ .

$(x + 3) (4 x^{2} - 23 x + 15) = 0$

Langkah 1.2.1.1.2

Tulis kembali $- 23$ sebagai $- 3$ ditambah $- 20$

$(x + 3) (4 x^{2} + (- 3 - 20) x + 15) = 0$

Langkah 1.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(x + 3) (4 x^{2} - 3 x - 20 x + 15) = 0$

Langkah 1.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x + 3) ((4 x^{2} - 3 x) - 20 x + 15) = 0$

Langkah 1.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x + 3) (x (4 x - 3) - 5 (4 x - 3)) = 0$

Langkah 1.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $4 x - 3$ .

$(x + 3) ((4 x - 3) (x - 5)) = 0$

Langkah 1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x + 3) (4 x - 3) (x - 5) = 0$

Langkah 2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

$4 x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Langkah 3

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur $x + 3$ sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 3.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 4

Atur $4 x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $4 x - 3$ sama dengan $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $4 x - 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$4 x = 3$

Langkah 4.2.2

Bagi setiap suku pada $4 x = 3$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $4 x = 3$ dengan $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Langkah 4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Langkah 5

Atur $x - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $x - 5$ sama dengan $0$ .

$x - 5 = 0$

Langkah 5.2

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 5$

Langkah 6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 3) (4 x - 3) (x - 5) = 0$ benar.

$x = - 3, \frac{3}{4}, 5$

Langkah 7