Prakalkulus Contoh

$5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y + 221 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $221$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y = - 221$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $5 x^{2} - 80 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 5$

$b = - 80$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 80}{2 \cdot 5}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 80$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 80$ .

$d = \frac{2 \cdot - 40}{2 \cdot 5}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 5$ .

$d = \frac{2 \cdot - 40}{2 (5)}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 40}{2 \cdot 5}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 40}{5}$

Langkah 1.2.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 40$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Faktorkan $5$ dari $- 40$ .

$d = \frac{5 \cdot - 8}{5}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.2.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$d = \frac{5 \cdot - 8}{5 (1)}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{5 \cdot - 8}{5 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 8}{1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.4

Bagilah $- 8$ dengan $1$ .

$d = - 8$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 80)}^{2}}{4 \cdot 5}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $- 80$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{6400}{4 \cdot 5}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$e = 0 - \frac{6400}{20}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Bagilah $6400$ dengan $20$ .

$e = 0 - 1 \cdot 320$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $320$ .

$e = 0 - 320$

Langkah 1.2.4.2.2

Kurangi $320$ dengan $0$ .

$e = - 320$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $5 {(x - 8)}^{2} - 320$ .

$5 {(x - 8)}^{2} - 320$

Langkah 1.3

Substitusikan $5 {(x - 8)}^{2} - 320$ untuk $5 x^{2} - 80 x$ dalam persamaan $5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y = - 221$ .

$5 {(x - 8)}^{2} - 320 + 9 y^{2} + 54 y = - 221$

Langkah 1.4

Pindahkan $- 320$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $320$ ke kedua sisinya.

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 y^{2} + 54 y = - 221 + 320$

Langkah 1.5

Selesaikan kuadrat dari $9 y^{2} + 54 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Langkah 1.5.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.5.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $54$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{27}{9}$

Langkah 1.5.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $27$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Faktorkan $9$ dari $27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.2.1

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{3}{1}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$d = 3$

Langkah 1.5.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Naikkan $54$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Bagilah $2916$ dengan $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $81$ .

$e = 0 - 81$

Langkah 1.5.4.2.2

Kurangi $81$ dengan $0$ .

$e = - 81$

Langkah 1.5.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

Langkah 1.6

Substitusikan $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ untuk $9 y^{2} + 54 y$ dalam persamaan $5 x^{2} + 9 y^{2} - 80 x + 54 y = - 221$ .

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} - 81 = - 221 + 320$

Langkah 1.7

Pindahkan $- 81$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $81$ ke kedua sisinya.

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 221 + 320 + 81$

Langkah 1.8

Sederhanakan $- 221 + 320 + 81$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Tambahkan $- 221$ dan $320$ .

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 99 + 81$

Langkah 1.8.2

Tambahkan $99$ dan $81$ .

$5 {(x - 8)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 180$

Langkah 1.9

Bagi setiap suku dengan $180$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{5 {(x - 8)}^{2}}{180} + \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{180} = \frac{180}{180}$

Langkah 1.10

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x - 8)}^{2}}{36} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{20} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 6$

$b = 2 \sqrt{5}$

$k = - 3$

$h = 8$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(8, - 3)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{36 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{36 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}$

Langkah 5.3.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{36 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{36 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Langkah 5.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Langkah 5.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

Langkah 5.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

Langkah 5.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{1})}$

Langkah 5.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{36 - (4 \cdot 5)}$

Langkah 5.3.3

Kalikan $- (4 \cdot 5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 20}$

Langkah 5.3.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $20$ .

$\sqrt{36 - 20}$

Langkah 5.3.4

Kurangi $20$ dengan $36$ .

$\sqrt{16}$

Langkah 5.3.5

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Langkah 5.3.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$4$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(8 + 6, - 3)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(14, - 3)$

Langkah 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(8 - (6), - 3)$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(2, - 3)$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(14, - 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(14, - 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 3)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(8 + 4, - 3)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$(12, - 3)$

Langkah 7.4

Titik fokus kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(8 - (4), - 3)$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

$(4, - 3)$

Langkah 7.7

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(12, - 3)$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(12, - 3)$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 3)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{6}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{6}$

Langkah 8.3.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{36 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}}{6}$

Langkah 8.3.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}}{6}$

Langkah 8.3.1.4

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{6}$

Langkah 8.3.1.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{6}$

Langkah 8.3.1.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{6}$

Langkah 8.3.1.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{6}$

Langkah 8.3.1.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5^{1})}}{6}$

Langkah 8.3.1.4.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{36 - (4 \cdot 5)}}{6}$

Langkah 8.3.1.5

Kalikan $- (4 \cdot 5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.5.1

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 20}}{6}$

Langkah 8.3.1.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $20$ .

$\frac{\sqrt{36 - 20}}{6}$

Langkah 8.3.1.6

Kurangi $20$ dengan $36$ .

$\frac{\sqrt{16}}{6}$

Langkah 8.3.1.7

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{6}$

Langkah 8.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{4}{6}$

Langkah 8.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 (2)}{6}$

Langkah 8.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Langkah 8.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Langkah 8.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{3}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(8, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(14, - 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(12, - 3)$

${Focus}_{2}$ : $(4, - 3)$

Eksentrisitas: $\frac{2}{3}$

Langkah 10