Prakalkulus Contoh

$x^{3} + x^{2} - 26 x + 24 \geq 0$

Langkah 1

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$x^{3} + x^{2} - 26 x + 24 = 0$

Langkah 2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $x^{3} + x^{2} - 26 x + 24$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

Langkah 2.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Langkah 2.1.3

Substitusikan $1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Substitusikan $1$ ke dalam polinomialnya.

$1^{3} + 1^{2} - 26 \cdot 1 + 24$

Langkah 2.1.3.2

Naikkan $1$ menjadi pangkat $3$ .

$1 + 1^{2} - 26 \cdot 1 + 24$

Langkah 2.1.3.3

Naikkan $1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 + 1 - 26 \cdot 1 + 24$

Langkah 2.1.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 - 26 \cdot 1 + 24$

Langkah 2.1.3.5

Kalikan $- 26$ dengan $1$ .

$2 - 26 + 24$

Langkah 2.1.3.6

Kurangi $26$ dengan $2$ .

$- 24 + 24$

Langkah 2.1.3.7

Tambahkan $- 24$ dan $24$ .

$0$

Langkah 2.1.4

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 26 x + 24}{x - 1}$

Langkah 2.1.5

Bagilah $x^{3} + x^{2} - 26 x + 24$ dengan $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$26 x$

$24$

Langkah 2.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$

Langkah 2.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Langkah 2.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Langkah 2.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Langkah 2.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$

Langkah 2.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$

Langkah 2.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Langkah 2.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Langkah 2.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$24 x$

Langkah 2.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$24 x$	+	$24$

Langkah 2.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 24 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$24$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$24 x$	+	$24$

Langkah 2.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$24$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$24 x$	+	$24$
							-	$24 x$	+	$24$

Langkah 2.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 24 x + 24$

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$24$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$24 x$	+	$24$
							+	$24 x$	-	$24$

Langkah 2.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$24$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$26 x$	+	$24$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$26 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$24 x$	+	$24$
							+	$24 x$	-	$24$
										$0$

Langkah 2.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} + 2 x - 24$

Langkah 2.1.6

Tulis $x^{3} + x^{2} - 26 x + 24$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 1) (x^{2} + 2 x - 24) = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $x^{2} + 2 x - 24$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $x^{2} + 2 x - 24$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 24$ dan jumlahnya $2$ .

$- 4, 6$

Langkah 2.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x - 1) ((x - 4) (x + 6)) = 0$

Langkah 2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x - 1) (x - 4) (x + 6) = 0$

Langkah 3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Langkah 4

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 4.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 5

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $x - 4$ sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 5.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 6

Atur $x + 6$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $x + 6$ sama dengan $0$ .

$x + 6 = 0$

Langkah 6.2

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 6$

Langkah 7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 1) (x - 4) (x + 6) = 0$ benar.

$x = 1, 4, - 6$

Langkah 8

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 6$

$- 6 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Langkah 9

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Uji nilai pada interval $x < - 6$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 6$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 8$

Langkah 9.1.2

Ganti $x$ dengan $- 8$ pada pertidaksamaan asal.

${(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{2} - 26 \cdot - 8 + 24 \geq 0$

Langkah 9.1.3

Sisi kiri $- 216$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 9.2

Uji nilai pada interval $- 6 < x < 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Pilih nilai pada interval $- 6 < x < 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 9.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

${(0)}^{3} + {(0)}^{2} - 26 \cdot 0 + 24 \geq 0$

Langkah 9.2.3

Sisi kiri $24$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 9.3

Uji nilai pada interval $1 < x < 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Pilih nilai pada interval $1 < x < 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 2$

Langkah 9.3.2

Ganti $x$ dengan $2$ pada pertidaksamaan asal.

${(2)}^{3} + {(2)}^{2} - 26 \cdot 2 + 24 \geq 0$

Langkah 9.3.3

Sisi kiri $- 16$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 9.4

Uji nilai pada interval $x > 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Pilih nilai pada interval $x > 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 6$

Langkah 9.4.2

Ganti $x$ dengan $6$ pada pertidaksamaan asal.

${(6)}^{3} + {(6)}^{2} - 26 \cdot 6 + 24 \geq 0$

Langkah 9.4.3

Sisi kiri $120$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 9.5

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 6$ Salah

$- 6 < x < 1$ Benar

$1 < x < 4$ Salah

$x > 4$ Benar

$x < - 6$ Salah

$- 6 < x < 1$ Benar

$1 < x < 4$ Salah

$x > 4$ Benar

Langkah 10

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- 6 \leq x \leq 1$ atau $x \geq 4$

Langkah 11

Konversikan pertidaksamaan ke notasi interval.

$[- 6, 1] \cup [4, \infty)$

Langkah 12