Prakalkulus Contoh

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$ tidak terdefinisi.

$x = - 9, x = - 5$

Langkah 2

Karena $\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $- 9$ dari kiri dan $\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- 9$ dari kanan, maka $x = - 9$ adalah asimtot tegak.

$x = - 9$

Langkah 3

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 4

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Langkah 5

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 6

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Faktorkan $x^{2} + 14 x + 45$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $45$ dan jumlahnya $14$ .

$5, 9$

Langkah 6.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{(x + 5) (x + 9)}$

Langkah 6.2

Perluas $(x + 5) (x + 9)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x (x + 9) + 5 (x + 9)}$

Langkah 6.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + x \cdot 9 + 5 (x + 9)}$

Langkah 6.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + x \cdot 9 + 5 x + 5 \cdot 9}$

Langkah 6.2.4

Susun kembali $x$ dan $9$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

Langkah 6.2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

Langkah 6.2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

Langkah 6.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{1 + 1} + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

Langkah 6.2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

Langkah 6.2.9

Kalikan $5$ dengan $9$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 9 x + 5 x + 45}$

Langkah 6.2.10

Tambahkan $9 x$ dan $5 x$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$

Langkah 6.3

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

Langkah 6.4

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$2 x$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

Langkah 6.5

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$2 x$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

Langkah 6.6

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x^{3} + 28 x^{2} + 90 x$

$2 x$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

Langkah 6.7

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$2 x$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

$4 x^{2}$

$55 x$

Langkah 6.8

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

						$2 x$
$x^{2}$	+	$14 x$	+	$45$		$2 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$175$
					-	$2 x^{3}$	-	$28 x^{2}$	-	$90 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$55 x$	-	$175$

Langkah 6.9

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 4 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

						$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$14 x$	+	$45$		$2 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$175$
					-	$2 x^{3}$	-	$28 x^{2}$	-	$90 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$55 x$	-	$175$

Langkah 6.10

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

						$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$14 x$	+	$45$		$2 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$175$
					-	$2 x^{3}$	-	$28 x^{2}$	-	$90 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$55 x$	-	$175$
							-	$4 x^{2}$	-	$56 x$	-	$180$

Langkah 6.11

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 4 x^{2} - 56 x - 180$

$2 x$

$4$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

$4 x^{2}$

$55 x$

$175$

$4 x^{2}$

$56 x$

$180$

Langkah 6.12

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$2 x$

$4$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

$4 x^{2}$

$55 x$

$175$

$4 x^{2}$

$56 x$

$180$

$x$

$5$

Langkah 6.13

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$2 x - 4 + \frac{x + 5}{x^{2} + 14 x + 45}$

Langkah 6.14

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = 2 x - 4$

Langkah 7

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - 9$

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = 2 x - 4$

Langkah 8