Prakalkulus Contoh

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = 1 - 2 \sin^{2} (θ)$

Langkah 1

Mulai dari sisi kiri.

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ)$

Langkah 2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali $\cos^{4} (θ)$ sebagai ${(\cos^{2} (θ))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - \sin^{4} (θ)$

Langkah 2.2

Tulis kembali $\sin^{4} (θ)$ sebagai ${(\sin^{2} (θ))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - {(\sin^{2} (θ))}^{2}$

Langkah 2.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = \cos^{2} (θ)$ dan $b = \sin^{2} (θ)$ .

$(\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Susun kembali suku-suku.

$(\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Langkah 2.4.2

Terapkan identitas pythagoras.

$1 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Langkah 2.4.3

Kalikan $\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$ dengan $1$ .

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Langkah 2.4.4

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = \cos (θ)$ dan $b = \sin (θ)$ .

$(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$

Langkah 3

Terapkan sifat distributif.

$(\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Langkah 4.1.2

Kalikan $\cos (θ) \cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Naikkan $\cos (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

${\cos (θ)}^{1} \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Langkah 4.1.2.2

Naikkan $\cos (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

${\cos (θ)}^{1} {\cos (θ)}^{1} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Langkah 4.1.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Langkah 4.1.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Langkah 4.1.3

Terapkan sifat distributif.

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Langkah 4.1.4

Kalikan $\sin (θ) (- \sin (θ))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Naikkan $\sin (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - ({\sin (θ)}^{1} \sin (θ))$

Langkah 4.1.4.2

Naikkan $\sin (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - ({\sin (θ)}^{1} {\sin (θ)}^{1})$

Langkah 4.1.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - {\sin (θ)}^{1 + 1}$

Langkah 4.1.4.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - {\sin (θ)}^{2}$

Langkah 4.2

Tambahkan $\cos (θ) \sin (θ)$ dan $\cos (θ) (- \sin (θ))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Susun kembali $\cos (θ)$ dan $- 1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \cos (θ) \sin (θ) - 1 \cdot \cos (θ) \sin (θ) - {\sin (θ)}^{2}$

Langkah 4.2.2

Kurangi $\cos (θ) \sin (θ)$ dengan $\cos (θ) \sin (θ)$ .

${\cos (θ)}^{2} + 0 - {\sin (θ)}^{2}$

Langkah 4.3

Tambahkan ${\cos (θ)}^{2}$ dan $0$ .

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Langkah 5

Terapkan identitas Pythagoras secara terbalik.

$1 - \sin^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Langkah 6

Kurangi ${\sin (θ)}^{2}$ dengan $- {\sin (θ)}^{2}$ .

$1 - 2 \sin^{2} (θ)$

Langkah 7

Karena kedua sisi telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah sebuah identitas.

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = 1 - 2 \sin^{2} (θ)$ adalah identitas