Prakalkulus Contoh

$f (x) = x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15$

Langkah 1

Atur $x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15$ sama dengan $0$ .

$x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15 = 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Faktorkan $x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Langkah 2.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Langkah 2.1.1.3

Substitusikan $1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1

Substitusikan $1$ ke dalam polinomialnya.

$1^{3} + 7 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 15$

Langkah 2.1.1.3.2

Naikkan $1$ menjadi pangkat $3$ .

$1 + 7 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 15$

Langkah 2.1.1.3.3

Naikkan $1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 + 7 \cdot 1 + 7 \cdot 1 - 15$

Langkah 2.1.1.3.4

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$1 + 7 + 7 \cdot 1 - 15$

Langkah 2.1.1.3.5

Tambahkan $1$ dan $7$ .

$8 + 7 \cdot 1 - 15$

Langkah 2.1.1.3.6

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$8 + 7 - 15$

Langkah 2.1.1.3.7

Tambahkan $8$ dan $7$ .

$15 - 15$

Langkah 2.1.1.3.8

Kurangi $15$ dengan $15$ .

$0$

Langkah 2.1.1.4

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15}{x - 1}$

Langkah 2.1.1.5

Bagilah $x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15$ dengan $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15$

Langkah 2.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$

Langkah 2.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Langkah 2.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$

Langkah 2.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $8 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$

Langkah 2.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Langkah 2.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $8 x^{2} - 8 x$

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Langkah 2.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$15 x$

Langkah 2.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$

Langkah 2.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $15 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$

Langkah 2.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	-	$15$

Langkah 2.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $15 x - 15$

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$

Langkah 2.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$
										$0$

Langkah 2.1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} + 8 x + 15$

Langkah 2.1.1.6

Tulis $x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 1) (x^{2} + 8 x + 15) = 0$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $x^{2} + 8 x + 15$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Faktorkan $x^{2} + 8 x + 15$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $15$ dan jumlahnya $8$ .

$3, 5$

Langkah 2.1.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x - 1) ((x + 3) (x + 5)) = 0$

Langkah 2.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x - 1) (x + 3) (x + 5) = 0$

Langkah 2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Langkah 2.3

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 2.4

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x + 3$ sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 2.4.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 2.5

Atur $x + 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 5$ sama dengan $0$ .

$x + 5 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 5$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 1) (x + 3) (x + 5) = 0$ benar.

$x = 1, - 3, - 5$

Langkah 3