Prakalkulus Contoh

$\frac{x^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{25} = 1$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{x^{2}}{144}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{y^{2}}{25} = 1 - \frac{x^{2}}{144}$

Langkah 2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $- 25$ .

$- 25 (- \frac{y^{2}}{25}) = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Langkah 3

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Sederhanakan $- 25 (- \frac{y^{2}}{25})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{y^{2}}{25}$ ke dalam pembilangnya.

$- 25 \frac{- y^{2}}{25} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Langkah 3.1.1.1.2

Faktorkan $25$ dari $- 25$ .

$25 (- 1) \frac{- y^{2}}{25} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Langkah 3.1.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$25 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{25} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Langkah 3.1.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- - y^{2} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Langkah 3.1.1.2

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 y^{2} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Langkah 3.1.1.2.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan $- 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = - 25 \cdot 1 - 25 (- \frac{x^{2}}{144})$

Langkah 3.2.1.2

Kalikan $- 25$ dengan $1$ .

$y^{2} = - 25 - 25 (- \frac{x^{2}}{144})$

Langkah 3.2.1.3

Kalikan $- 25 (- \frac{x^{2}}{144})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 25$ .

$y^{2} = - 25 + 25 \frac{x^{2}}{144}$

Langkah 3.2.1.3.2

Gabungkan $25$ dan $\frac{x^{2}}{144}$ .

$y^{2} = - 25 + \frac{25 x^{2}}{144}$

Langkah 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 25 + \frac{25 x^{2}}{144}}$

Langkah 5

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 25 + \frac{25 x^{2}}{144}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $25 x^{2}$ sebagai ${(5 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 25 + \frac{{(5 x)}^{2}}{144}}$

Langkah 5.2

Tulis kembali $144$ sebagai $12^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 25 + \frac{{(5 x)}^{2}}{12^{2}}}$

Langkah 5.3

Tulis kembali $\frac{{(5 x)}^{2}}{12^{2}}$ sebagai ${(\frac{5 x}{12})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 25 + {(\frac{5 x}{12})}^{2}}$

Langkah 5.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 5^{2} + {(\frac{5 x}{12})}^{2}}$

Langkah 5.4.2

Susun kembali $- 5^{2}$ dan ${(\frac{5 x}{12})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5 x}{12})}^{2} - 5^{2}}$

Langkah 5.5

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = \frac{5 x}{12}$ dan $b = 5$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{5 x}{12} + 5) (\frac{5 x}{12} - 5)}$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Faktorkan $5$ dari $\frac{5 x}{12} + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1

Faktorkan $5$ dari $\frac{5 x}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{(5 \frac{x}{12} + 5) (\frac{5 x}{12} - 5)}$

Langkah 5.6.1.2

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$y = \pm \sqrt{(5 \frac{x}{12} + 5 (1)) (\frac{5 x}{12} - 5)}$

Langkah 5.6.1.3

Faktorkan $5$ dari $5 \frac{x}{12} + 5 (1)$ .

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) (\frac{5 x}{12} - 5)}$

Langkah 5.6.2

Faktorkan $5$ dari $\frac{5 x}{12} - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Faktorkan $5$ dari $\frac{5 x}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) (5 \frac{x}{12} - 5)}$

Langkah 5.6.2.2

Faktorkan $5$ dari $- 5$ .

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) (5 \frac{x}{12} + 5 (- 1))}$

Langkah 5.6.2.3

Faktorkan $5$ dari $5 \frac{x}{12} + 5 (- 1)$ .

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) (5 (\frac{x}{12} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) \cdot 5 (\frac{x}{12} - 1)}$

Langkah 5.6.3

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$y = \pm \sqrt{25 (\frac{x}{12} + 1) (\frac{x}{12} - 1)}$

Langkah 5.7

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{25 (\frac{x}{12} + \frac{12}{12}) (\frac{x}{12} - 1)}$

Langkah 5.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} (\frac{x}{12} - 1)}$

Langkah 5.9

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} (\frac{x}{12} - 1 \cdot \frac{12}{12})}$

Langkah 5.10

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} (\frac{x}{12} + \frac{- 1 \cdot 12}{12})}$

Langkah 5.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} \frac{x - 1 \cdot 12}{12}}$

Langkah 5.12

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} \frac{x - 12}{12}}$

Langkah 5.13

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.13.1

Gabungkan $25$ dan $\frac{x + 12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (x + 12)}{12} \cdot \frac{x - 12}{12}}$

Langkah 5.13.2

Kalikan $\frac{25 (x + 12)}{12}$ dengan $\frac{x - 12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (x + 12) (x - 12)}{12 \cdot 12}}$

Langkah 5.13.3

Kalikan $12$ dengan $12$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (x + 12) (x - 12)}{144}}$

Langkah 5.14

Tulis kembali $\frac{25 (x + 12) (x - 12)}{144}$ sebagai ${(\frac{5}{12})}^{2} ((x + 12) (x - 12))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.14.1

Faktorkan kuadrat sempurna $5^{2}$ dari $25 (x + 12) (x - 12)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((x + 12) (x - 12))}{144}}$

Langkah 5.14.2

Faktorkan kuadrat sempurna $12^{2}$ dari $144$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((x + 12) (x - 12))}{12^{2} \cdot 1}}$

Langkah 5.14.3

Susun kembali pecahan $\frac{5^{2} ((x + 12) (x - 12))}{12^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{12})}^{2} ((x + 12) (x - 12))}$

Langkah 5.15

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm \frac{5}{12} \sqrt{(x + 12) (x - 12)}$

Langkah 5.16

Gabungkan $\frac{5}{12}$ dan $\sqrt{(x + 12) (x - 12)}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

Langkah 6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

Langkah 6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

Langkah 6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

$y = \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

Langkah 7

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{(x + 12) (x - 12)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$(x + 12) (x - 12) \geq 0$

Langkah 8

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 12 = 0$

$x - 12 = 0$

Langkah 8.2

Atur $x + 12$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Atur $x + 12$ sama dengan $0$ .

$x + 12 = 0$

Langkah 8.2.2

Kurangkan $12$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 12$

Langkah 8.3

Atur $x - 12$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Atur $x - 12$ sama dengan $0$ .

$x - 12 = 0$

Langkah 8.3.2

Tambahkan $12$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 12$

Langkah 8.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 12) (x - 12) \geq 0$ benar.

$x = - 12, 12$

Langkah 8.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 12$

$- 12 < x < 12$

$x > 12$

Langkah 8.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Uji nilai pada interval $x < - 12$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 12$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 14$

Langkah 8.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 14$ pada pertidaksamaan asal.

$((- 14) + 12) ((- 14) - 12) \geq 0$

Langkah 8.6.1.3

Sisi kiri $52$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 8.6.2

Uji nilai pada interval $- 12 < x < 12$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.2.1

Pilih nilai pada interval $- 12 < x < 12$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 8.6.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$((0) + 12) ((0) - 12) \geq 0$

Langkah 8.6.2.3

Sisi kiri $- 144$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 8.6.3

Uji nilai pada interval $x > 12$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 12$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 14$

Langkah 8.6.3.2

Ganti $x$ dengan $14$ pada pertidaksamaan asal.

$((14) + 12) ((14) - 12) \geq 0$

Langkah 8.6.3.3

Sisi kiri $52$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 8.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 12$ Benar

$- 12 < x < 12$ Salah

$x > 12$ Benar

$x < - 12$ Benar

$- 12 < x < 12$ Salah

$x > 12$ Benar

Langkah 8.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x \leq - 12$ atau $x \geq 12$

Langkah 9

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 12] \cup [12, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \leq - 12, x \geq 12}$

Langkah 10

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${y | y \in ℝ}$

Langkah 11

Tentukan domain dan daerah hasilnya.

Domain: $(- \infty, - 12] \cup [12, \infty), {x | x \leq - 12, x \geq 12}$

Daerah hasil: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Langkah 12