Prakalkulus Contoh

$\ln (\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}})$

Langkah 1

Atur argumen dalam $\ln (\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}})$ agar lebih besar dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}} > 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri pertidaksamaan, kuadratkan kedua sisi pertidaksamaan.

${\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}}^{2} > 0^{2}$

Langkah 2.2

Sederhanakan masing-masing sisi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ sebagai ${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Sederhanakan ${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Langkah 2.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Langkah 2.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{1} > 0^{2}$

Langkah 2.2.2.1.2

Sederhanakan.

$\frac{x + 3}{x - 2} > 0^{2}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{x + 3}{x - 2} > 0$

Langkah 2.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 2.3.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 2.3.3

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 2.3.4

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = - 3$

$x = 2$

Langkah 2.3.5

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = - 3, 2$

Langkah 2.4

Tentukan domain dari $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$\frac{x + 3}{x - 2} \geq 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 2.4.2.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 2.4.2.3

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 2.4.2.4

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = - 3$

$x = 2$

Langkah 2.4.2.5

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = - 3, 2$

Langkah 2.4.2.6

Tentukan domain dari $\frac{x + 3}{x - 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.6.1

Atur penyebut dalam $\frac{x + 3}{x - 2}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x - 2 = 0$

Langkah 2.4.2.6.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 2.4.2.6.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 2.4.2.7

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Langkah 2.4.2.8

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.8.1

Uji nilai pada interval $x < - 3$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.8.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 3$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 6$

Langkah 2.4.2.8.1.2

Ganti $x$ dengan $- 6$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2} \geq 0$

Langkah 2.4.2.8.1.3

Sisi kiri $0.375$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 2.4.2.8.2

Uji nilai pada interval $- 3 < x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.8.2.1

Pilih nilai pada interval $- 3 < x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 2.4.2.8.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(0) + 3}{(0) - 2} \geq 0$

Langkah 2.4.2.8.2.3

Sisi kiri $- 1.5$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 2.4.2.8.3

Uji nilai pada interval $x > 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.8.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 2.4.2.8.3.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(4) + 3}{(4) - 2} \geq 0$

Langkah 2.4.2.8.3.3

Sisi kiri $3.5$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 2.4.2.8.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 3$ Benar

$- 3 < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

$x < - 3$ Benar

$- 3 < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

Langkah 2.4.2.9

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x \leq - 3$ atau $x > 2$

Langkah 2.4.3

Atur penyebut dalam $\frac{x + 3}{x - 2}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x - 2 = 0$

Langkah 2.4.4

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 2.4.5

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - 3] \cup (2, \infty)$

Langkah 2.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Langkah 2.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Uji nilai pada interval $x < - 3$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 3$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 6$

Langkah 2.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 6$ pada pertidaksamaan asal.

$\sqrt{\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2}} > 0$

Langkah 2.6.1.3

Sisi kiri $0.61237243$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 2.6.2

Uji nilai pada interval $- 3 < x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Pilih nilai pada interval $- 3 < x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 2.6.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\sqrt{\frac{(0) + 3}{(0) - 2}} > 0$

Langkah 2.6.2.3

Sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, artinya pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 2.6.3

Uji nilai pada interval $x > 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 2.6.3.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$\sqrt{\frac{(4) + 3}{(4) - 2}} > 0$

Langkah 2.6.3.3

Sisi kiri $1.87082869$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 2.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 3$ Benar

$- 3 < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

$x < - 3$ Benar

$- 3 < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

Langkah 2.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x < - 3$ atau $x > 2$

Langkah 3

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$\frac{x + 3}{x - 2} \geq 0$

Langkah 4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 4.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 4.3

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 4.4

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = - 3$

$x = 2$

Langkah 4.5

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = - 3, 2$

Langkah 4.6

Tentukan domain dari $\frac{x + 3}{x - 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Atur penyebut dalam $\frac{x + 3}{x - 2}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x - 2 = 0$

Langkah 4.6.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 4.6.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 4.7

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Langkah 4.8

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Uji nilai pada interval $x < - 3$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 3$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 6$

Langkah 4.8.1.2

Ganti $x$ dengan $- 6$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2} \geq 0$

Langkah 4.8.1.3

Sisi kiri $0.375$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 4.8.2

Uji nilai pada interval $- 3 < x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.2.1

Pilih nilai pada interval $- 3 < x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 4.8.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(0) + 3}{(0) - 2} \geq 0$

Langkah 4.8.2.3

Sisi kiri $- 1.5$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 4.8.3

Uji nilai pada interval $x > 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 4.8.3.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(4) + 3}{(4) - 2} \geq 0$

Langkah 4.8.3.3

Sisi kiri $3.5$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 4.8.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 3$ Benar

$- 3 < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

$x < - 3$ Benar

$- 3 < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

Langkah 4.9

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x \leq - 3$ atau $x > 2$

Langkah 5

Atur penyebut dalam $\frac{x + 3}{x - 2}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x - 2 = 0$

Langkah 6

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 7

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 3) \cup (2, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x < - 3, x > 2}$

Langkah 8