Prakalkulus Contoh

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{1} = 1$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{1} = 1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

Langkah 2

Bagilah ${(y - 3)}^{2}$ dengan $1$ .

${(y - 3)}^{2} = 1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

Langkah 3

Sederhanakan $1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan menjadi satu pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

${(y - 3)}^{2} = \frac{4}{4} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

Langkah 3.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

${(y - 3)}^{2} = \frac{4 - {(x - 2)}^{2}}{4}$

Langkah 3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{2^{2} - {(x - 2)}^{2}}{4}$

Langkah 3.2.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 2$ dan $b = x - 2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{(2 + x - 2) (2 - (x - 2))}{4}$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Kurangi $2$ dengan $2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{(x + 0) (2 - (x - 2))}{4}$

Langkah 3.2.3.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - (x - 2))}{4}$

Langkah 3.2.3.3

Terapkan sifat distributif.

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - x - - 2)}{4}$

Langkah 3.2.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - x + 2)}{4}$

Langkah 3.2.3.5

Tambahkan $2$ dan $2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- x + 4)}{4}$

Langkah 3.3

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x) + 4)}{4}$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali $4$ sebagai $- 1 (- 4)$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x) - 1 (- 4))}{4}$

Langkah 3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (- 4)$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x - 4))}{4}$

Langkah 3.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Tulis kembali $- (x - 4)$ sebagai $- 1 (x - 4)$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- 1 (x - 4))}{4}$

Langkah 3.3.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

${(y - 3)}^{2} = - \frac{x (x - 4)}{4}$

Langkah 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{x (x - 4)}{4}}$

Langkah 5

Sederhanakan $\pm \sqrt{- \frac{x (x - 4)}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $- \frac{x (x - 4)}{4}$ sebagai ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- x (x - 4))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $x (x - 4)$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x (x - 4))}{4}}$

Langkah 5.1.2

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{2}$ dari $4$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x (x - 4))}{2^{2} \cdot 1}}$

Langkah 5.1.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} (x (x - 4))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} (x (x - 4)))}$

Langkah 5.1.4

Susun kembali $- 1$ dan ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 x (x - 4)}$

Langkah 5.1.5

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 x (x - 4)}$

Langkah 5.1.6

Tambahkan tanda kurung.

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 (x (x - 4))}$

Langkah 5.1.7

Tambahkan tanda kurung.

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- x (x - 4))}$

Langkah 5.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y - 3 = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- x (x - 4)}$

Langkah 5.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y - 3 = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- x (x - 4)}$

Langkah 5.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{- x (x - 4)}$ .

$y - 3 = \pm \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

Langkah 6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y - 3 = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

Langkah 6.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

Langkah 6.3

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y - 3 = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

Langkah 6.4

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

Langkah 6.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

Langkah 7

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{- x (x - 4)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$- x (x - 4) \geq 0$

Langkah 8

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Langkah 8.2

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 8.3

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Atur $x - 4$ sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 8.3.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 8.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- x (x - 4) \geq 0$ benar.

$x = 0, 4$

Langkah 8.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Langkah 8.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Uji nilai pada interval $x < 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 2$

Langkah 8.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 2$ pada pertidaksamaan asal.

$2 ((- 2) - 4) \geq 0$

Langkah 8.6.1.3

Sisi kiri $- 12$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 8.6.2

Uji nilai pada interval $0 < x < 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.2.1

Pilih nilai pada interval $0 < x < 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 2$

Langkah 8.6.2.2

Ganti $x$ dengan $2$ pada pertidaksamaan asal.

$- 2 ((2) - 4) \geq 0$

Langkah 8.6.2.3

Sisi kiri $4$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 8.6.3

Uji nilai pada interval $x > 4$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 4$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 6$

Langkah 8.6.3.2

Ganti $x$ dengan $6$ pada pertidaksamaan asal.

$- 6 ((6) - 4) \geq 0$

Langkah 8.6.3.3

Sisi kiri $- 12$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 8.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < 0$ Salah

$0 < x < 4$ Benar

$x > 4$ Salah

$x < 0$ Salah

$0 < x < 4$ Benar

$x > 4$ Salah

Langkah 8.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$0 \leq x \leq 4$

Langkah 9

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[0, 4]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | 0 \leq x \leq 4}$

Langkah 10

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$[2, 4]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${y | 2 \leq y \leq 4}$

Langkah 11

Tentukan domain dan daerah hasilnya.

Domain: $[0, 4], {x | 0 \leq x \leq 4}$

Daerah hasil: $[2, 4], {y | 2 \leq y \leq 4}$

Langkah 12