Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ tidak terdefinisi.

$x = - 5, x = - 1$

Langkah 2

Karena $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $- 5$ dari kiri dan $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- 5$ dari kanan, maka $x = - 5$ adalah asimtot tegak.

$x = - 5$

Langkah 3

Karena $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $- 1$ dari kiri dan $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- 1$ dari kanan, maka $x = - 1$ adalah asimtot tegak.

$x = - 1$

Langkah 4

Sebutkan semua asimtot tegaknya:

$x = - 5, - 1$

Langkah 5

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 6

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Langkah 7

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 8

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Faktorkan $x^{2} + 6 x + 5$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $5$ dan jumlahnya $6$ .

$1, 5$

Langkah 8.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{(x + 1) (x + 5)}$

Langkah 8.2

Perluas $(x + 1) (x + 5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x (x + 5) + 1 (x + 5)}$

Langkah 8.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + x \cdot 5 + 1 (x + 5)}$

Langkah 8.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + x \cdot 5 + 1 x + 1 \cdot 5}$

Langkah 8.2.4

Susun kembali $x$ dan $5$ .

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

Langkah 8.2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

Langkah 8.2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

Langkah 8.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{1 + 1} + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

Langkah 8.2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

Langkah 8.2.9

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 5 x + x + 1 \cdot 5}$

Langkah 8.2.10

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 5 x + x + 5}$

Langkah 8.2.11

Tambahkan $5 x$ dan $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$

Langkah 8.3

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

Langkah 8.4

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$2 x$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

Langkah 8.5

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$2 x$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

Langkah 8.6

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x$

$2 x$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

Langkah 8.7

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$2 x$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$5 x$

Langkah 8.8

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

						$2 x$
$x^{2}$	+	$6 x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
					-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$

Langkah 8.9

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

						$2 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$6 x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
					-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$

Langkah 8.10

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

						$2 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$6 x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
					-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
							-	$x^{2}$	-	$6 x$	-	$5$

Langkah 8.11

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- x^{2} - 6 x - 5$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$5 x$

$1$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

Langkah 8.12

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$5 x$

$1$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$x$

$4$

Langkah 8.13

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$2 x - 1 + \frac{x + 4}{x^{2} + 6 x + 5}$

Langkah 8.14

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = 2 x - 1$

Langkah 9

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - 5, - 1$

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = 2 x - 1$

Langkah 10