Prakalkulus Contoh

$\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{x^{2}}{100}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{100}$

Langkah 2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $64$ .

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

Langkah 3

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

Langkah 3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan $64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- \frac{x^{2}}{100})$

Langkah 3.2.1.1.2

Kalikan $64$ dengan $1$ .

$y^{2} = 64 + 64 (- \frac{x^{2}}{100})$

Langkah 3.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x^{2}}{100}$ ke dalam pembilangnya.

$y^{2} = 64 + 64 \frac{- x^{2}}{100}$

Langkah 3.2.1.1.3.2

Faktorkan $4$ dari $64$ .

$y^{2} = 64 + 4 (16) \frac{- x^{2}}{100}$

Langkah 3.2.1.1.3.3

Faktorkan $4$ dari $100$ .

$y^{2} = 64 + 4 \cdot 16 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 25}$

Langkah 3.2.1.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = 64 + 4 \cdot 16 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 25}$

Langkah 3.2.1.1.3.5

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 64 + 16 \frac{- x^{2}}{25}$

Langkah 3.2.1.1.4

Gabungkan $16$ dan $\frac{- x^{2}}{25}$ .

$y^{2} = 64 + \frac{16 (- x^{2})}{25}$

Langkah 3.2.1.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$y^{2} = 64 + \frac{- 16 x^{2}}{25}$

Langkah 3.2.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = 64 - \frac{16 x^{2}}{25}$

Langkah 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{64 - \frac{16 x^{2}}{25}}$

Langkah 5

Sederhanakan $\pm \sqrt{64 - \frac{16 x^{2}}{25}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis pernyataannya menggunakan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tulis kembali $64$ sebagai $8^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{8^{2} - \frac{16 x^{2}}{25}}$

Langkah 5.1.2

Tulis kembali $\frac{16 x^{2}}{25}$ sebagai ${(\frac{4 x}{5})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{8^{2} - {(\frac{4 x}{5})}^{2}}$

Langkah 5.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 8$ dan $b = \frac{4 x}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(8 + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

Langkah 5.3

Untuk menuliskan $8$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(8 \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

Langkah 5.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Gabungkan $8$ dan $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{8 \cdot 5}{5} + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

Langkah 5.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{8 \cdot 5 + 4 x}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Langkah 5.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Faktorkan $4$ dari $8 \cdot 5 + 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Faktorkan $4$ dari $8 \cdot 5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5) + 4 x}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Langkah 5.5.1.2

Faktorkan $4$ dari $4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5) + 4 (x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Langkah 5.5.1.3

Faktorkan $4$ dari $4 (2 \cdot 5) + 4 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5 + x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Langkah 5.5.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Langkah 5.6

Untuk menuliskan $8$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (8 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 x}{5})}$

Langkah 5.7

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Gabungkan $8$ dan $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (\frac{8 \cdot 5}{5} - \frac{4 x}{5})}$

Langkah 5.7.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{8 \cdot 5 - 4 x}{5}}$

Langkah 5.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Faktorkan $4$ dari $8 \cdot 5 - 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1.1

Faktorkan $4$ dari $8 \cdot 5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5) - 4 x}{5}}$

Langkah 5.8.1.2

Faktorkan $4$ dari $- 4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5) + 4 (- x)}{5}}$

Langkah 5.8.1.3

Faktorkan $4$ dari $4 (2 \cdot 5) + 4 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5 - x)}{5}}$

Langkah 5.8.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (10 - x)}{5}}$

Langkah 5.9

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1

Kalikan $\frac{4 (10 + x)}{5}$ dengan $\frac{4 (10 - x)}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x) (4 (10 - x))}{5 \cdot 5}}$

Langkah 5.9.2

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.2.1

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{5 \cdot 5}}$

Langkah 5.9.2.2

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{25}}$

Langkah 5.10

Tulis kembali $\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{25}$ sebagai ${(\frac{2^{2}}{5})}^{2} ((10 + x) (10 - x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.1

Faktorkan kuadrat sempurna ${(2^{2})}^{2}$ dari $16 (10 + x) (10 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{25}}$

Langkah 5.10.2

Faktorkan kuadrat sempurna $5^{2}$ dari $25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

Langkah 5.10.3

Susun kembali pecahan $\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{5})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}$

Langkah 5.11

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm \frac{2^{2}}{5} \sqrt{(10 + x) (10 - x)}$

Langkah 5.12

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \pm \frac{4}{5} \sqrt{(10 + x) (10 - x)}$

Langkah 5.13

Gabungkan $\frac{4}{5}$ dan $\sqrt{(10 + x) (10 - x)}$ .

$y = \pm \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Langkah 6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Langkah 6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Langkah 6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Langkah 7

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{(10 + x) (10 - x)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$(10 + x) (10 - x) \geq 0$

Langkah 8

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$10 + x = 0$

$10 - x = 0$

Langkah 8.2

Atur $10 + x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Atur $10 + x$ sama dengan $0$ .

$10 + x = 0$

Langkah 8.2.2

Kurangkan $10$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 10$

Langkah 8.3

Atur $10 - x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Atur $10 - x$ sama dengan $0$ .

$10 - x = 0$

Langkah 8.3.2

Selesaikan $10 - x = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Kurangkan $10$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 10$

Langkah 8.3.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 10$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 10$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 10}{- 1}$

Langkah 8.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 10}{- 1}$

Langkah 8.3.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 10}{- 1}$

Langkah 8.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.3.1

Bagilah $- 10$ dengan $- 1$ .

$x = 10$

Langkah 8.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(10 + x) (10 - x) \geq 0$ benar.

$x = - 10, 10$

Langkah 8.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 10$

$- 10 < x < 10$

$x > 10$

Langkah 8.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Uji nilai pada interval $x < - 10$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 10$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 12$

Langkah 8.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 12$ pada pertidaksamaan asal.

$(10 - 12) (10 - (- 12)) \geq 0$

Langkah 8.6.1.3

Sisi kiri $- 44$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 8.6.2

Uji nilai pada interval $- 10 < x < 10$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.2.1

Pilih nilai pada interval $- 10 < x < 10$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 8.6.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$(10 + 0) (10 - (0)) \geq 0$

Langkah 8.6.2.3

Sisi kiri $100$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 8.6.3

Uji nilai pada interval $x > 10$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 10$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 12$

Langkah 8.6.3.2

Ganti $x$ dengan $12$ pada pertidaksamaan asal.

$(10 + 12) (10 - (12)) \geq 0$

Langkah 8.6.3.3

Sisi kiri $- 44$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 8.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 10$ Salah

$- 10 < x < 10$ Benar

$x > 10$ Salah

$x < - 10$ Salah

$- 10 < x < 10$ Benar

$x > 10$ Salah

Langkah 8.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- 10 \leq x \leq 10$

Langkah 9

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[- 10, 10]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | - 10 \leq x \leq 10}$

Langkah 10

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$[- 8, 8]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${y | - 8 \leq y \leq 8}$

Langkah 11

Tentukan domain dan daerah hasilnya.

Domain: $[- 10, 10], {x | - 10 \leq x \leq 10}$

Daerah hasil: $[- 8, 8], {y | - 8 \leq y \leq 8}$

Langkah 12