Prakalkulus Contoh

$x^{3} - 15 x - 4 = 0$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(4)}^{3} - 15 \cdot 4 - 4$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 4$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$64 - 15 \cdot 4 - 4$

Langkah 4.1.2

Kalikan $- 15$ dengan $4$ .

$64 - 60 - 4$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $60$ dengan $64$ .

$4 - 4$

Langkah 4.2.2

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$0$

Langkah 5

Karena $4$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 4$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{3} - 15 x - 4}{x - 4}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(4)$ dan tempatkan hasil $(4)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(0)$ .

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$
	$1$	$4$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(4)$ dengan pembagi $(4)$ dan tempatkan hasil $(16)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 15)$ .

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$	$16$
	$1$	$4$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$	$16$
	$1$	$4$	$1$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(4)$ dan tempatkan hasil $(4)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 4)$ .

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$	$16$	$4$
	$1$	$4$	$1$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$	$16$	$4$
	$1$	$4$	$1$	$0$

Langkah 6.9

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{2} + 4 x + 1$

Langkah 6.10

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{2} + 4 x + 1$

Langkah 7

Selesaikan persamaan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 4$ , dan $c = 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.3

Kurangi $4$ dengan $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Langkah 7.3.3

Sederhanakan $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Langkah 7.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.3

Kurangi $4$ dengan $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.4

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Langkah 7.4.3

Sederhanakan $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Langkah 7.4.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{3}$

Langkah 7.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.3

Kurangi $4$ dengan $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.4

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Langkah 7.5.3

Sederhanakan $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Langkah 7.5.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{3}$

Langkah 7.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Langkah 8

Polinomial dapat ditulis sebagai himpunan faktor linear.

$(x - 4) (x + 2 - \sqrt{3}) (x + 2 + \sqrt{3})$

Langkah 9

Ini adalah akar-akar (nol) dari polinomial $x^{3} - 15 x - 4$ .

$x = 4, - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Langkah 10

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = 4, - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Bentuk Desimal:

$x = 4, - 0.26794919 \dots, - 3.73205080 \dots$

Langkah 11