Prakalkulus Contoh

$x = \sqrt{y} + \sqrt[4]{y}$

Langkah 1

Tulis kembali sisi kanan dengan eksponen rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x = y^{\frac{1}{2}} + \sqrt[4]{y}$

Langkah 1.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[4]{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{4}}$ .

$x = y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{4}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{4}})$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{4}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 4.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 4.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 4.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 4.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 4.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 4.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 4.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 4.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 4.2.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 4.2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 4.2.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 4.2.9

Gabungkan $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ dan $y'$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 4.2.10

Pindahkan $y^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 4.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 4.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 4.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 4.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} y'$

Langkah 4.3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} y'$

Langkah 4.3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} y'$

Langkah 4.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} y'$

Langkah 4.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1 - 4}{4}} y'$

Langkah 4.3.6.2

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{- 3}{4}} y'$

Langkah 4.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{- \frac{3}{4}} y'$

Langkah 4.3.8

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $y^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4} y'$

Langkah 4.3.9

Gabungkan $\frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4}$ dan $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{3}{4}} y'}{4}$

Langkah 4.3.10

Pindahkan $y^{- \frac{3}{4}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$1 = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 6

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 1$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 1$

Langkah 6.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$2 y^{\frac{1}{2}}, 4 y^{\frac{3}{4}}, 1$

Langkah 6.2.2

Since $2 y^{\frac{1}{2}}, 4 y^{\frac{3}{4}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 4, 1$ then find LCM for the variable part $y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{3}{4}}$ .

Langkah 6.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 6.2.4

Karena $2$ tidak memiliki faktor selain $1$ dan $2$ .

$2$ adalah bilangan prima

Langkah 6.2.5

$4$ memiliki faktor $2$ dan $2$ .

$2 \cdot 2$

Langkah 6.2.6

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 6.2.7

KPK dari $2, 4, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$2 \cdot 2$

Langkah 6.2.8

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4$

Langkah 6.2.9

KPK dari $y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{3}{4}}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y^{\frac{3}{4}}$

Langkah 6.2.10

KPK untuk $2 y^{\frac{1}{2}}, 4 y^{\frac{3}{4}}, 1$ adalah bagian bilangan $4$ dikalikan dengan bagian variabel.

$4 y^{\frac{3}{4}}$

Langkah 6.3

Kalikan setiap suku pada $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 1$ dengan $4 y^{\frac{3}{4}}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 1$ dengan $4 y^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$4 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Langkah 6.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 \cdot 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Langkah 6.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Langkah 6.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Langkah 6.3.2.1.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Langkah 6.3.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.4.1

Faktorkan $y^{\frac{1}{2}}$ dari $y^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{4}}) + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Langkah 6.3.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{4}}) + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Langkah 6.3.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Langkah 6.3.2.1.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + 4 \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Langkah 6.3.2.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + 4 \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Langkah 6.3.2.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + \frac{y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Langkah 6.3.2.1.7

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{\frac{3}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + \frac{y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Langkah 6.3.2.1.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + y' = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Kalikan $4 y^{\frac{3}{4}}$ dengan $1$ .

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + y' = 4 y^{\frac{3}{4}}$

Langkah 6.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $y'$ dari $2 y' y^{\frac{1}{4}} + y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Faktorkan $y'$ dari $2 y' y^{\frac{1}{4}}$ .

$y' (2 y^{\frac{1}{4}}) + y' = 4 y^{\frac{3}{4}}$

Langkah 6.4.1.2

Naikkan $y'$ menjadi pangkat $1$ .

$y' (2 y^{\frac{1}{4}}) + y' = 4 y^{\frac{3}{4}}$

Langkah 6.4.1.3

Faktorkan $y'$ dari ${y'}^{1}$ .

$y' (2 y^{\frac{1}{4}}) + y' \cdot 1 = 4 y^{\frac{3}{4}}$

Langkah 6.4.1.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (2 y^{\frac{1}{4}}) + y' \cdot 1$ .

$y' (2 y^{\frac{1}{4}} + 1) = 4 y^{\frac{3}{4}}$

Langkah 6.4.2

Bagi setiap suku pada $y' (2 y^{\frac{1}{4}} + 1) = 4 y^{\frac{3}{4}}$ dengan $2 y^{\frac{1}{4}} + 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Bagilah setiap suku di $y' (2 y^{\frac{1}{4}} + 1) = 4 y^{\frac{3}{4}}$ dengan $2 y^{\frac{1}{4}} + 1$ .

$\frac{y' (2 y^{\frac{1}{4}} + 1)}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1} = \frac{4 y^{\frac{3}{4}}}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1}$

Langkah 6.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 y^{\frac{1}{4}} + 1)}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1} = \frac{4 y^{\frac{3}{4}}}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1}$

Langkah 6.4.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{3}{4}}}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1}$

Langkah 7

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{\frac{3}{4}}}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1}$