Prakalkulus Contoh

$x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2} = 0$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d y} (0)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = x^{2}$ dan $g (y) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{2}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- x y^{2}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

$x^{2} + 2 y x x' - \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = x$ dan $g (y) = y^{2}$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (x \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (x (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (x (2 y) + y^{2} x') + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{2}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + 2 u_{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.4.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + 2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + 2 x x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + 2 x x' + 2 y$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y) - (y^{2} x') + 2 x x' + 2 y$

Langkah 2.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x^{2} + 2 y x x' - 2 x y - y^{2} x' + 2 x x' + 2 y$

Langkah 2.6.3

Susun kembali suku-suku.

$x^{2} + 2 x y x' - 2 x y - y^{2} x' + 2 x x' + 2 y$

Langkah 3

Karena $0$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $0$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x^{2} + 2 x y x' - 2 x y - y^{2} x' + 2 x x' + 2 y = 0$

Langkah 5

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y x' - 2 x y - y^{2} x' + 2 x x' + 2 y = - x^{2}$

Langkah 5.1.2

Tambahkan $2 x y$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x y x' - y^{2} x' + 2 x x' + 2 y = - x^{2} + 2 x y$

Langkah 5.1.3

Kurangkan $2 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x y x' - y^{2} x' + 2 x x' = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Langkah 5.2

Faktorkan $x'$ dari $2 x y x' - y^{2} x' + 2 x x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $x'$ dari $2 x y x'$ .

$x' (2 x y) - y^{2} x' + 2 x x' = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $x'$ dari $- y^{2} x'$ .

$x' (2 x y) + x' (- y^{2}) + 2 x x' = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $x'$ dari $2 x x'$ .

$x' (2 x y) + x' (- y^{2}) + x' (2 x) = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Langkah 5.2.4

Faktorkan $x'$ dari $x' (2 x y) + x' (- y^{2})$ .

$x' (2 x y - y^{2}) + x' (2 x) = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Langkah 5.2.5

Faktorkan $x'$ dari $x' (2 x y - y^{2}) + x' (2 x)$ .

$x' (2 x y - y^{2} + 2 x) = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $x' (2 x y - y^{2} + 2 x) = - x^{2} + 2 x y - 2 y$ dengan $2 x y - y^{2} + 2 x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $x' (2 x y - y^{2} + 2 x) = - x^{2} + 2 x y - 2 y$ dengan $2 x y - y^{2} + 2 x$ .

$\frac{x' (2 x y - y^{2} + 2 x)}{2 x y - y^{2} + 2 x} = \frac{- x^{2}}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{- 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 x y - y^{2} + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x' (2 x y - y^{2} + 2 x)}{2 x y - y^{2} + 2 x} = \frac{- x^{2}}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{- 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Langkah 5.3.2.1.2

Bagilah $x'$ dengan $1$ .

$x' = \frac{- x^{2}}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{- 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = - \frac{x^{2}}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{- 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Langkah 5.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = - \frac{x^{2}}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} - \frac{2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x' = \frac{- x^{2} + 2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} - \frac{2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Langkah 5.3.3.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x' = \frac{- x^{2} + 2 x y - 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Langkah 5.3.3.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2}$ .

$x' = \frac{- (x^{2}) + 2 x y - 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Langkah 5.3.3.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $2 x y$ .

$x' = \frac{- (x^{2}) - (- 2 x y) - 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Langkah 5.3.3.2.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2}) - (- 2 x y)$ .

$x' = \frac{- (x^{2} - 2 x y) - 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Langkah 5.3.3.2.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 y$ .

$x' = \frac{- (x^{2} - 2 x y) - (2 y)}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Langkah 5.3.3.2.7

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2} - 2 x y) - (2 y)$ .

$x' = \frac{- (x^{2} - 2 x y + 2 y)}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Langkah 5.3.3.2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.8.1

Tulis kembali $- (x^{2} - 2 x y + 2 y)$ sebagai $- 1 (x^{2} - 2 x y + 2 y)$ .

$x' = \frac{- 1 (x^{2} - 2 x y + 2 y)}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Langkah 5.3.3.2.8.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = - \frac{x^{2} - 2 x y + 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Langkah 6

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x^{2} - 2 x y + 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$