Prakalkulus Contoh

$\frac{{(y - 6)}^{2}}{36} - \frac{{(x + 3)}^{2}}{16} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(y - 6)}^{2}}{36} - \frac{{(x + 3)}^{2}}{16} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 6$

$b = 4$

$k = 6$

$h = - 3$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(- 3, 6)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(6)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{36 + {(4)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{36 + 16}$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $36$ dan $16$ .

$\sqrt{52}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali $52$ sebagai $2^{2} \cdot 13$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Faktorkan $4$ dari $52$ .

$\sqrt{4 (13)}$

Langkah 5.3.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 13}$

Langkah 5.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$2 \sqrt{13}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 3, 12)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 3, 0)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h, k \pm a)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(- 3, 12), (- 3, 0)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 3, 6 + 2 \sqrt{13})$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 3, 6 - 2 \sqrt{13})$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(- 3, 6 + 2 \sqrt{13}), (- 3, 6 - 2 \sqrt{13})$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} + {(4)}^{2}}}{6}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 4^{2}}}{6}$

Langkah 8.3.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 16}}{6}$

Langkah 8.3.1.3

Tambahkan $36$ dan $16$ .

$\frac{\sqrt{52}}{6}$

Langkah 8.3.1.4

Tulis kembali $52$ sebagai $2^{2} \cdot 13$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $52$ .

$\frac{\sqrt{4 (13)}}{6}$

Langkah 8.3.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 13}}{6}$

Langkah 8.3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{2 \sqrt{13}}{6}$

Langkah 8.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \sqrt{13}$ .

$\frac{2 (\sqrt{13})}{6}$

Langkah 8.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Langkah 8.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Langkah 8.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{13}}{3}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{4^{2}}{2 \sqrt{13}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{16}{2 \sqrt{13}}$

Langkah 9.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{13}}$

Langkah 9.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \sqrt{13}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (\sqrt{13})}$

Langkah 9.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{13}}$

Langkah 9.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{8}{\sqrt{13}}$

Langkah 9.3.3

Kalikan $\frac{8}{\sqrt{13}}$ dengan $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Langkah 9.3.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.1

Kalikan $\frac{8}{\sqrt{13}}$ dengan $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{8 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Langkah 9.3.4.2

Naikkan $\sqrt{13}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{8 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Langkah 9.3.4.3

Naikkan $\sqrt{13}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{8 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Langkah 9.3.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{8 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Langkah 9.3.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{8 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Langkah 9.3.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{13}}^{2}$ sebagai $13$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{13}$ sebagai $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 9.3.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 9.3.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{8 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{8 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{8 \sqrt{13}}{13^{1}}$

Langkah 9.3.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{8 \sqrt{13}}{13}$

Langkah 10

Asimtot-asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ karena hiperbola ini membuka ke atas dan ke bawah.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (- 3)) + 6$

Langkah 11

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (- 3)) + 6$

Langkah 11.2

Sederhanakan $\frac{3}{2} \cdot (x - (- 3)) + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x + 3) + 6$

Langkah 11.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 3 + 6$

Langkah 11.2.1.3

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot 3 + 6$

Langkah 11.2.1.4

Kalikan $\frac{3}{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.4.1

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 \cdot 3}{2} + 6$

Langkah 11.2.1.4.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{9}{2} + 6$

Langkah 11.2.2

Untuk menuliskan $6$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{9}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 11.2.3

Gabungkan $6$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{9}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Langkah 11.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{9 + 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 11.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.5.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{9 + 12}{2}$

Langkah 11.2.5.2

Tambahkan $9$ dan $12$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{21}{2}$

Langkah 12

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (- 3)) + 6$

Langkah 12.2

Sederhanakan $- \frac{3}{2} \cdot (x - (- 3)) + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x + 3) + 6$

Langkah 12.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot 3 + 6$

Langkah 12.2.1.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 3 + 6$

Langkah 12.2.1.4

Kalikan $- \frac{3}{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.4.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 (\frac{3}{2}) + 6$

Langkah 12.2.1.4.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + 6$

Langkah 12.2.1.4.3

Kalikan $- 3$ dengan $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 9}{2} + 6$

Langkah 12.2.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.5.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = - \frac{3 \cdot x}{2} + \frac{- 9}{2} + 6$

Langkah 12.2.1.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2} + 6$

Langkah 12.2.2

Untuk menuliskan $6$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 12.2.3

Gabungkan $6$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Langkah 12.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{- 9 + 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 12.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.5.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{- 9 + 12}{2}$

Langkah 12.2.5.2

Tambahkan $- 9$ dan $12$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{21}{2}, y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(- 3, 6)$

Verteks: $(- 3, 12), (- 3, 0)$

Titik api: $(- 3, 6 + 2 \sqrt{13}), (- 3, 6 - 2 \sqrt{13})$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{13}}{3}$

Parameter Fokus: $\frac{8 \sqrt{13}}{13}$

Asimtot: $y = \frac{3 x}{2} + \frac{21}{2}$ , $y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Langkah 15