Prakalkulus Contoh

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{60} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{60} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 2$

$b = 2 \sqrt{15}$

$k = 0$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{15})}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{4 + {(2 \sqrt{15})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{15}$ .

$\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{15}}^{2}}$

Langkah 5.3.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{4 + 4 {\sqrt{15}}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{15}}^{2}$ sebagai $15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{15}$ sebagai $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 + 4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{1}}$

Langkah 5.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 15}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan $4$ dengan $15$ .

$\sqrt{4 + 60}$

Langkah 5.3.3.2

Tambahkan $4$ dan $60$ .

$\sqrt{64}$

Langkah 5.3.3.3

Tulis kembali $64$ sebagai $8^{2}$ .

$\sqrt{8^{2}}$

Langkah 5.3.3.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$8$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(2, 0)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 2, 0)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h \pm a, k)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(2, 0), (- 2, 0)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(8, 0)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 8, 0)$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(8, 0), (- 8, 0)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{15})}^{2}}}{2}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + {(2 \sqrt{15})}^{2}}}{2}$

Langkah 8.3.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{15}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{15}}^{2}}}{2}$

Langkah 8.3.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {\sqrt{15}}^{2}}}{2}$

Langkah 8.3.1.4

Tulis kembali ${\sqrt{15}}^{2}$ sebagai $15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{15}$ sebagai $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Langkah 8.3.1.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Langkah 8.3.1.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Langkah 8.3.1.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Langkah 8.3.1.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{1}}}{2}$

Langkah 8.3.1.4.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 15}}{2}$

Langkah 8.3.1.5

Kalikan $4$ dengan $15$ .

$\frac{\sqrt{4 + 60}}{2}$

Langkah 8.3.1.6

Tambahkan $4$ dan $60$ .

$\frac{\sqrt{64}}{2}$

Langkah 8.3.1.7

Tulis kembali $64$ sebagai $8^{2}$ .

$\frac{\sqrt{8^{2}}}{2}$

Langkah 8.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{8}{2}$

Langkah 8.3.2

Bagilah $8$ dengan $2$ .

$4$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{2 {\sqrt{15}}^{2}}{8}$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 {\sqrt{15}}^{2}$ .

$\frac{2 ({\sqrt{15}}^{2})}{8}$

Langkah 9.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$\frac{2 {\sqrt{15}}^{2}}{2 \cdot 4}$

Langkah 9.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 {\sqrt{15}}^{2}}{2 \cdot 4}$

Langkah 9.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{{\sqrt{15}}^{2}}{4}$

Langkah 9.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{15}}^{2}$ sebagai $15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{15}$ sebagai $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Langkah 9.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Langkah 9.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{15^{\frac{2}{2}}}{4}$

Langkah 9.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{15^{\frac{2}{2}}}{4}$

Langkah 9.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{15^{1}}{4}$

Langkah 9.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{15}{4}$

Langkah 10

Asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ karena hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan.

$y = \pm \sqrt{15} \cdot x + 0$

Langkah 11

Tambahkan $\sqrt{15} \cdot x$ dan $0$ .

$y = \sqrt{15} x$

Langkah 12

Tambahkan $- \sqrt{15} \cdot x$ dan $0$ .

$y = - \sqrt{15} x$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \sqrt{15} x, y = - \sqrt{15} x$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(0, 0)$

Verteks: $(2, 0), (- 2, 0)$

Titik api: $(8, 0), (- 8, 0)$

Eksentrisitas: $4$

Parameter Fokus: $\frac{15}{4}$

Asimtot: $y = \sqrt{15} x$ , $y = - \sqrt{15} x$

Langkah 15