Prakalkulus Contoh

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{144} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{144} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 12$

$b = 6$

$k = 0$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(12)}^{2} - {(6)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $12$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{144 - {(6)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{144 - 1 \cdot 36}$

Langkah 5.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $36$ .

$\sqrt{144 - 36}$

Langkah 5.3.4

Kurangi $36$ dengan $144$ .

$\sqrt{108}$

Langkah 5.3.5

Tulis kembali $108$ sebagai $6^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Faktorkan $36$ dari $108$ .

$\sqrt{36 (3)}$

Langkah 5.3.5.2

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$\sqrt{6^{2} \cdot 3}$

Langkah 5.3.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$6 \sqrt{3}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 + 12)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(0, 12)$

Langkah 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 - (12))$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(0, - 12)$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 12)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 12)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 12)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 12)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 + 6 \sqrt{3})$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$(0, 6 \sqrt{3})$

Langkah 7.4

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 - (6 \sqrt{3}))$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

$(0, - 6 \sqrt{3})$

Langkah 7.7

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(0, 6 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 6 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 6 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 6 \sqrt{3})$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} - {(6)}^{2}}}{12}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Naikkan $12$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - 6^{2}}}{12}$

Langkah 8.3.1.2

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{144 - 1 \cdot 36}}{12}$

Langkah 8.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $36$ .

$\frac{\sqrt{144 - 36}}{12}$

Langkah 8.3.1.4

Kurangi $36$ dengan $144$ .

$\frac{\sqrt{108}}{12}$

Langkah 8.3.1.5

Tulis kembali $108$ sebagai $6^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.5.1

Faktorkan $36$ dari $108$ .

$\frac{\sqrt{36 (3)}}{12}$

Langkah 8.3.1.5.2

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2} \cdot 3}}{12}$

Langkah 8.3.1.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{6 \sqrt{3}}{12}$

Langkah 8.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Faktorkan $6$ dari $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{6 (\sqrt{3})}{12}$

Langkah 8.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Faktorkan $6$ dari $12$ .

$\frac{6 \sqrt{3}}{6 \cdot 2}$

Langkah 8.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 \sqrt{3}}{6 \cdot 2}$

Langkah 8.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 12)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 12)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 6 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 6 \sqrt{3})$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 10