Prakalkulus Contoh

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{225} - \frac{{(x - 5)}^{2}}{400} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{225} - \frac{{(x - 5)}^{2}}{400} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 15$

$b = 20$

$k = 3$

$h = 5$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(5, 3)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(15)}^{2} + {(20)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $15$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{225 + {(20)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Naikkan $20$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{225 + 400}$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $225$ dan $400$ .

$\sqrt{625}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali $625$ sebagai $25^{2}$ .

$\sqrt{25^{2}}$

Langkah 5.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$25$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(5, 18)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(5, - 12)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h, k \pm a)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(5, 18), (5, - 12)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(5, 28)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(5, - 22)$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(5, 28), (5, - 22)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(15)}^{2} + {(20)}^{2}}}{15}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Naikkan $15$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{225 + 20^{2}}}{15}$

Langkah 8.3.1.2

Naikkan $20$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{225 + 400}}{15}$

Langkah 8.3.1.3

Tambahkan $225$ dan $400$ .

$\frac{\sqrt{625}}{15}$

Langkah 8.3.1.4

Tulis kembali $625$ sebagai $25^{2}$ .

$\frac{\sqrt{25^{2}}}{15}$

Langkah 8.3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{25}{15}$

Langkah 8.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $25$ dan $15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Faktorkan $5$ dari $25$ .

$\frac{5 (5)}{15}$

Langkah 8.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Faktorkan $5$ dari $15$ .

$\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 3}$

Langkah 8.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 3}$

Langkah 8.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5}{3}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{20^{2}}{25}$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Naikkan $20$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{400}{25}$

Langkah 9.3.2

Bagilah $400$ dengan $25$ .

$16$

Langkah 10

Asimtot-asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ karena hiperbola ini membuka ke atas dan ke bawah.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (5)) + 3$

Langkah 11

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (5)) + 3$

Langkah 11.2

Sederhanakan $\frac{3}{4} \cdot (x - (5)) + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 5) + 3$

Langkah 11.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 5 + 3$

Langkah 11.2.1.3

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 5 + 3$

Langkah 11.2.1.4

Kalikan $\frac{3}{4} \cdot - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.4.1

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $- 5$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 5}{4} + 3$

Langkah 11.2.1.4.2

Kalikan $3$ dengan $- 5$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 15}{4} + 3$

Langkah 11.2.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{15}{4} + 3$

Langkah 11.2.2

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{15}{4} + 3 \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 11.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4}$

Langkah 11.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 15 + 3 \cdot 4}{4}$

Langkah 11.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.5.1

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 15 + 12}{4}$

Langkah 11.2.5.2

Tambahkan $- 15$ dan $12$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 3}{4}$

Langkah 11.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4}$

Langkah 12

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (5)) + 3$

Langkah 12.2

Sederhanakan $- \frac{3}{4} \cdot (x - (5)) + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 5) + 3$

Langkah 12.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 5 + 3$

Langkah 12.2.1.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 5 + 3$

Langkah 12.2.1.4

Kalikan $- \frac{3}{4} \cdot - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.4.1

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 5 (\frac{3}{4}) + 3$

Langkah 12.2.1.4.2

Gabungkan $5$ dan $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{5 \cdot 3}{4} + 3$

Langkah 12.2.1.4.3

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{15}{4} + 3$

Langkah 12.2.1.5

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{15}{4} + 3$

Langkah 12.2.2

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{15}{4} + 3 \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 12.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4}$

Langkah 12.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{15 + 3 \cdot 4}{4}$

Langkah 12.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.5.1

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{15 + 12}{4}$

Langkah 12.2.5.2

Tambahkan $15$ dan $12$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{27}{4}$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{27}{4}$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(5, 3)$

Verteks: $(5, 18), (5, - 12)$

Titik api: $(5, 28), (5, - 22)$

Eksentrisitas: $\frac{5}{3}$

Parameter Fokus: $16$

Asimtot: $y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4}$ , $y = - \frac{3 x}{4} + \frac{27}{4}$

Langkah 15