Prakalkulus Contoh

$50 x^{2} + y^{2} + 20 y = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan kuadrat dari $y^{2} + 20 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 1$

$b = 20$

$c = 0$

Langkah 1.1.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.1.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{20}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.1.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $20$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $20$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 (1)}$

Langkah 1.1.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.1.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{10}{1}$

Langkah 1.1.3.2.2.4

Bagilah $10$ dengan $1$ .

$d = 10$

Langkah 1.1.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{20^{2}}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.1

Naikkan $20$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{400}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.1.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$e = 0 - \frac{400}{4}$

Langkah 1.1.4.2.1.3

Bagilah $400$ dengan $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Langkah 1.1.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $100$ .

$e = 0 - 100$

Langkah 1.1.4.2.2

Kurangi $100$ dengan $0$ .

$e = - 100$

Langkah 1.1.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks ${(y + 10)}^{2} - 100$ .

${(y + 10)}^{2} - 100$

Langkah 1.2

Substitusikan ${(y + 10)}^{2} - 100$ untuk $y^{2} + 20 y$ dalam persamaan $50 x^{2} + y^{2} + 20 y = 0$ .

$50 x^{2} + {(y + 10)}^{2} - 100 = 0$

Langkah 1.3

Pindahkan $- 100$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $100$ ke kedua sisinya.

$50 x^{2} + {(y + 10)}^{2} = 0 + 100$

Langkah 1.4

Tambahkan $0$ dan $100$ .

$50 x^{2} + {(y + 10)}^{2} = 100$

Langkah 1.5

Bagi setiap suku dengan $100$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{50 x^{2}}{100} + \frac{{(y + 10)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Langkah 1.6

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{{(y + 10)}^{2}}{100} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 10$

$b = \sqrt{2}$

$k = - 10$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, - 10)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(10)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $10$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{100 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{100 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{100 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{100 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{100 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{100 - 2^{1}}$

Langkah 5.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{100 - 1 \cdot 2}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\sqrt{100 - 2}$

Langkah 5.3.3.2

Kurangi $2$ dengan $100$ .

$\sqrt{98}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali $98$ sebagai $7^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Faktorkan $49$ dari $98$ .

$\sqrt{49 (2)}$

Langkah 5.3.4.2

Tulis kembali $49$ sebagai $7^{2}$ .

$\sqrt{7^{2} \cdot 2}$

Langkah 5.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$7 \sqrt{2}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, - 10 + 10)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(0, 0)$

Langkah 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, - 10 - (10))$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(0, - 20)$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 20)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 20)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, - 10 + 7 \sqrt{2})$

Langkah 7.3

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, - 10 - (7 \sqrt{2}))$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

$(0, - 10 - 7 \sqrt{2})$

Langkah 7.6

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(0, - 10 + 7 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 10 - 7 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 10 + 7 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 10 - 7 \sqrt{2})$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(10)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{10}$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Naikkan $10$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{100 - {\sqrt{2}}^{2}}}{10}$

Langkah 8.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{100 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{10}$

Langkah 8.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{100 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{10}$

Langkah 8.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{100 - 2^{\frac{2}{2}}}}{10}$

Langkah 8.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{100 - 2^{\frac{2}{2}}}}{10}$

Langkah 8.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{100 - 2^{1}}}{10}$

Langkah 8.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{100 - 1 \cdot 2}}{10}$

Langkah 8.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{\sqrt{100 - 2}}{10}$

Langkah 8.3.4

Kurangi $2$ dengan $100$ .

$\frac{\sqrt{98}}{10}$

Langkah 8.3.5

Tulis kembali $98$ sebagai $7^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.5.1

Faktorkan $49$ dari $98$ .

$\frac{\sqrt{49 (2)}}{10}$

Langkah 8.3.5.2

Tulis kembali $49$ sebagai $7^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7^{2} \cdot 2}}{10}$

Langkah 8.3.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(0, - 10)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 20)$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 10 + 7 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 10 - 7 \sqrt{2})$

Eksentrisitas: $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

Langkah 10