Prakalkulus Contoh

$x^{2} - y^{2} - 10 x - 12 y - 12 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $12$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} - y^{2} - 10 x - 12 y = 12$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $x^{2} - 10 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 1$

$b = - 10$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 10$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 5}{1}$

Langkah 1.2.3.2.2.4

Bagilah $- 5$ dengan $1$ .

$d = - 5$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $- 10$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Bagilah $100$ dengan $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $25$ .

$e = 0 - 25$

Langkah 1.2.4.2.2

Kurangi $25$ dengan $0$ .

$e = - 25$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks ${(x - 5)}^{2} - 25$ .

${(x - 5)}^{2} - 25$

Langkah 1.3

Substitusikan ${(x - 5)}^{2} - 25$ untuk $x^{2} - 10 x$ dalam persamaan $x^{2} - y^{2} - 10 x - 12 y = 12$ .

${(x - 5)}^{2} - 25 - y^{2} - 12 y = 12$

Langkah 1.4

Pindahkan $- 25$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $25$ ke kedua sisinya.

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 12 y = 12 + 25$

Langkah 1.5

Selesaikan kuadrat dari $- y^{2} - 12 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 1$

$b = - 12$

$c = 0$

Langkah 1.5.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.5.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot - 1}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 12$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 1}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{- 6}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 6$

Langkah 1.5.3.2.2

Tulis kembali $- 1 \cdot - 6$ sebagai $- - 6$ .

$d = - - 6$

Langkah 1.5.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 6$ .

$d = 6$

Langkah 1.5.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Naikkan $- 12$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 4}$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Bagilah $144$ dengan $- 4$ .

$e = 0 - - 36$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Langkah 1.5.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $36$ .

$e = 36$

Langkah 1.5.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- {(y + 6)}^{2} + 36$ .

$- {(y + 6)}^{2} + 36$

Langkah 1.6

Substitusikan $- {(y + 6)}^{2} + 36$ untuk $- y^{2} - 12 y$ dalam persamaan $x^{2} - y^{2} - 10 x - 12 y = 12$ .

${(x - 5)}^{2} - {(y + 6)}^{2} + 36 = 12 + 25$

Langkah 1.7

Pindahkan $36$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $36$ ke kedua sisinya.

${(x - 5)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 12 + 25 - 36$

Langkah 1.8

Sederhanakan $12 + 25 - 36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Tambahkan $12$ dan $25$ .

${(x - 5)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 37 - 36$

Langkah 1.8.2

Kurangi $36$ dengan $37$ .

${(x - 5)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = - 6$

$h = 5$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(5, - 6)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 + 1}$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\sqrt{2}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(6, - 6)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(4, - 6)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h \pm a, k)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(6, - 6), (4, - 6)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(5 + \sqrt{2}, - 6)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(5 - \sqrt{2}, - 6)$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(5 + \sqrt{2}, - 6), (5 - \sqrt{2}, - 6)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Bagilah $\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$ dengan $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Langkah 8.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Langkah 8.3.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 + 1}$

Langkah 8.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\sqrt{2}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Langkah 9.3.2

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 9.3.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 9.3.3.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 9.3.3.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 9.3.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 9.3.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 9.3.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 9.3.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 9.3.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 9.3.3.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 10

Asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ karena hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan.

$y = \pm 1 \cdot (x - (5)) - 6$

Langkah 11

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 1 \cdot (x - (5)) - 6$

Langkah 11.2

Sederhanakan $1 \cdot (x - (5)) - 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Kalikan $x - (5)$ dengan $1$ .

$y = x - (5) - 6$

Langkah 11.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$y = x - 5 - 6$

Langkah 11.2.2

Kurangi $6$ dengan $- 5$ .

$y = x - 11$

Langkah 12

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - 1 \cdot (x - (5)) - 6$

Langkah 12.2

Sederhanakan $- 1 \cdot (x - (5)) - 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$y = - 1 \cdot (x - 5) - 6$

Langkah 12.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 5 - 6$

Langkah 12.2.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot - 5 - 6$

Langkah 12.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 5$ .

$y = - x + 5 - 6$

Langkah 12.2.2

Kurangi $6$ dengan $5$ .

$y = - x - 1$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = x - 11, y = - x - 1$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(5, - 6)$

Verteks: $(6, - 6), (4, - 6)$

Titik api: $(5 + \sqrt{2}, - 6), (5 - \sqrt{2}, - 6)$

Eksentrisitas: $\sqrt{2}$

Parameter Fokus: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Asimtot: $y = x - 11$ , $y = - x - 1$

Langkah 15