Prakalkulus Contoh

$\frac{y^{2}}{144} - \frac{x^{2}}{256} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{y^{2}}{144} - \frac{x^{2}}{256} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 12$

$b = 16$

$k = 0$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(12)}^{2} + {(16)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $12$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{144 + {(16)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Naikkan $16$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{144 + 256}$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $144$ dan $256$ .

$\sqrt{400}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali $400$ sebagai $20^{2}$ .

$\sqrt{20^{2}}$

Langkah 5.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$20$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(0, 12)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(0, - 12)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h, k \pm a)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(0, 12), (0, - 12)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(0, 20)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(0, - 20)$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(0, 20), (0, - 20)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} + {(16)}^{2}}}{12}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Naikkan $12$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 16^{2}}}{12}$

Langkah 8.3.1.2

Naikkan $16$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 256}}{12}$

Langkah 8.3.1.3

Tambahkan $144$ dan $256$ .

$\frac{\sqrt{400}}{12}$

Langkah 8.3.1.4

Tulis kembali $400$ sebagai $20^{2}$ .

$\frac{\sqrt{20^{2}}}{12}$

Langkah 8.3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{20}{12}$

Langkah 8.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $20$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $20$ .

$\frac{4 (5)}{12}$

Langkah 8.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 3}$

Langkah 8.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 3}$

Langkah 8.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5}{3}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{16^{2}}{20}$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Naikkan $16$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{256}{20}$

Langkah 9.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $256$ dan $20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $256$ .

$\frac{4 (64)}{20}$

Langkah 9.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $20$ .

$\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 5}$

Langkah 9.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 5}$

Langkah 9.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{64}{5}$

Langkah 10

Asimtot-asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ karena hiperbola ini membuka ke atas dan ke bawah.

$y = \pm \frac{3}{4} x + 0$

Langkah 11

Sederhanakan $\frac{3}{4} x + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tambahkan $\frac{3}{4} x$ dan $0$ .

$y = \frac{3}{4} x$

Langkah 11.2

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $x$ .

$y = \frac{3 x}{4}$

Langkah 12

Sederhanakan $- \frac{3}{4} x + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Tambahkan $- \frac{3}{4} x$ dan $0$ .

$y = - \frac{3}{4} x$

Langkah 12.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4}$

Langkah 12.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4}$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{3 x}{4}, y = - \frac{3 x}{4}$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(0, 0)$

Verteks: $(0, 12), (0, - 12)$

Titik api: $(0, 20), (0, - 20)$

Eksentrisitas: $\frac{5}{3}$

Parameter Fokus: $\frac{64}{5}$

Asimtot: $y = \frac{3 x}{4}$ , $y = - \frac{3 x}{4}$

Langkah 15