Prakalkulus Contoh

$x^{2} + 3 y^{2} - 12 y + 9 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $9$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} + 3 y^{2} - 12 y = - 9$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $3 y^{2} - 12 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 3$

$b = - 12$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 12$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (3)}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 6}{3}$

Langkah 1.2.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $- 6$ .

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 2}{1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$d = - 2$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $- 12$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 3}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$e = 0 - \frac{144}{12}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Bagilah $144$ dengan $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 12$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$e = 0 - 12$

Langkah 1.2.4.2.2

Kurangi $12$ dengan $0$ .

$e = - 12$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $3 {(y - 2)}^{2} - 12$ .

$3 {(y - 2)}^{2} - 12$

Langkah 1.3

Substitusikan $3 {(y - 2)}^{2} - 12$ untuk $3 y^{2} - 12 y$ dalam persamaan $x^{2} + 3 y^{2} - 12 y = - 9$ .

$x^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} - 12 = - 9$

Langkah 1.4

Pindahkan $- 12$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $12$ ke kedua sisinya.

$x^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} = - 9 + 12$

Langkah 1.5

Tambahkan $- 9$ dan $12$ .

$x^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} = 3$

Langkah 1.6

Bagi setiap suku dengan $3$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 {(y - 2)}^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Langkah 1.7

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{3} + {(y - 2)}^{2} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = \sqrt{3}$

$b = 1$

$k = 2$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 2)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{3^{1} - {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{3 - {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{3 - 1 \cdot 1}$

Langkah 5.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\sqrt{3 - 1}$

Langkah 5.3.2.3

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$\sqrt{2}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 + \sqrt{3}, 2)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(\sqrt{3}, 2)$

Langkah 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 - (\sqrt{3}), 2)$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(- \sqrt{3}, 2)$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 2)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 + \sqrt{2}, 2)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$(\sqrt{2}, 2)$

Langkah 7.4

Titik fokus kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 - (\sqrt{2}), 2)$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

$(- \sqrt{2}, 2)$

Langkah 7.7

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{2}, 2)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} - {(1)}^{2}}}{\sqrt{3}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{3^{1} - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.1.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{3 - 1^{2}}}{\sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{\sqrt{3 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\sqrt{3 - 1}}{\sqrt{3}}$

Langkah 8.3.1.4

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Langkah 8.3.2

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 8.3.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.3.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Langkah 8.3.3.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Langkah 8.3.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 8.3.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 8.3.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 8.3.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 8.3.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 8.3.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 8.3.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Langkah 8.3.3.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Langkah 8.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.4.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Langkah 8.3.4.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(0, 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{2}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{2}, 2)$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Langkah 10