Prakalkulus Contoh

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{7}{8^{k}}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri tak hingga dapat ditentukan menggunakan rumus $\frac{a}{1 - r}$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{k}$ dan $a_{k + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{\frac{7}{8^{k + 1}}}{\frac{7}{8^{k}}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$r = \frac{7}{8^{k + 1}} \cdot \frac{8^{k}}{7}$

Langkah 2.2.2

Gabungkan.

$r = \frac{7 \cdot 8^{k}}{8^{k + 1} \cdot 7}$

Langkah 2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{7 \cdot 8^{k}}{8^{k + 1} \cdot 7}$

Langkah 2.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{8^{k}}{8^{k + 1}}$

Langkah 2.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $8^{k}$ dan $8^{k + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Faktorkan $8^{k + 1}$ dari $8^{k}$ .

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1}}$

Langkah 2.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{8^{k - (k + 1)}}{1}$

Langkah 2.2.4.2.4

Bagilah $8^{k - (k + 1)}$ dengan $1$ .

$r = 8^{k - (k + 1)}$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$r = 8^{k - k - 1 \cdot 1}$

Langkah 2.2.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$r = 8^{k - k - 1}$

Langkah 2.2.6

Kurangi $k$ dengan $k$ .

$r = 8^{0 - 1}$

Langkah 2.2.7

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$r = 8^{- 1}$

Langkah 2.2.8

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{8}$

Langkah 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Langkah 4

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1$ untuk $k$ ke dalam $\frac{7}{8^{k}}$ .

$a = \frac{7}{8^{1}}$

Langkah 4.2

Evaluasi eksponennya.

$a = \frac{7}{8}$

Langkah 5

Substitusikan nilai rasio dan suku pertama ke dalam rumus penjumlahan.

$\frac{\frac{7}{8}}{1 - \frac{1}{8}}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{8}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8}{8} - \frac{1}{8}}$

Langkah 6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8 - 1}{8}}$

Langkah 6.2.3

Kurangi $1$ dengan $8$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{7}{8}}$

Langkah 6.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{7}{8} (1 (\frac{8}{7}))$

Langkah 6.4

Kalikan $\frac{8}{7}$ dengan $1$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}$

Langkah 6.5

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}$

Langkah 6.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{8} \cdot 8$

Langkah 6.6

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{8} \cdot 8$

Langkah 6.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1$