Prakalkulus Contoh

$\sum_{k = 1}^{8} \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{k - 1}$

Langkah 1

Pisahkan penjumlahannya menjadi penjumlahan yang lebih kecil yang sesuai dengan kaidah penjumlahan.

$\sum_{k = 1}^{8} \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{8} \frac{1}{3} + \sum_{k = 1}^{8} {(\frac{1}{3})}^{k - 1}$

Langkah 2

Evaluasi $\sum_{k = 1}^{8} \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Rumus untuk penjumlahan konstanta adalah:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Langkah 2.2

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumusnya.

$(\frac{1}{3}) (8)$

Langkah 2.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $8$ .

$\frac{8}{3}$

Langkah 3

Evaluasi $\sum_{k = 1}^{8} {(\frac{1}{3})}^{k - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Jumlah deret geometri berhingga dapat ditentukan menggunakan rumus $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 3.2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Substitusikan $a_{k}$ dan $a_{k + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{k - 1}}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Hapus faktor persekutuan dari ${(\frac{1}{3})}^{k + 1 - 1}$ dan ${(\frac{1}{3})}^{k - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Faktorkan ${(\frac{1}{3})}^{k - 1}$ dari ${(\frac{1}{3})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{k - 1} {(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{k - 1}}$

Langkah 3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{k - 1} {(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Langkah 3.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{k - 1} {(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Langkah 3.2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Langkah 3.2.2.1.2.4

Bagilah ${(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ dengan $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Langkah 3.2.2.2

Tambahkan $k$ dan $0$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{k - (k - 1)}$

Langkah 3.2.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.3.1

Terapkan sifat distributif.

$r = {(\frac{1}{3})}^{k - k - - 1}$

Langkah 3.2.2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{k - k + 1}$

Langkah 3.2.2.4

Kurangi $k$ dengan $k$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Langkah 3.2.2.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Langkah 3.2.2.6

Sederhanakan.

$r = \frac{1}{3}$

Langkah 3.3

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Substitusikan $1$ untuk $k$ ke dalam ${(\frac{1}{3})}^{k - 1}$ .

$a = {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$a = {(\frac{1}{3})}^{0}$

Langkah 3.3.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$a = \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Langkah 3.3.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = \frac{1}{3^{0}}$

Langkah 3.3.2.4

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Langkah 3.3.2.5

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$a = 1$

Langkah 3.4

Substitusikan nilai rasio, suku pertama, dan banyaknya suku ke dalam rumus penjumlahan.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

Langkah 3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kalikan $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ dengan $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

Langkah 3.5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Kalikan $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

Langkah 3.5.2.2

Gabungkan.

$\frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

Langkah 3.5.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

Langkah 3.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Langkah 3.5.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Langkah 3.5.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 + 3 (- \frac{1^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1^{8}}{3^{8}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.3.2

Faktorkan $3$ dari $3^{8}$ .

$\frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 + \frac{- 1^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $7$ .

$\frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{3 + \frac{- 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{3 - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.8

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.9

Gabungkan $3$ dan $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{3 \cdot 2187 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.11.1

Kalikan $3$ dengan $2187$ .

$\frac{\frac{6561 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.5.11.2

Kurangi $1$ dengan $6561$ .

$\frac{\frac{6560}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 3.5.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.6.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{6560}{2187}}{3 - 1}$

Langkah 3.5.6.2

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$\frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

Langkah 3.5.7

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{6560}{2187} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 3.5.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.8.1

Faktorkan $2$ dari $6560$ .

$\frac{2 (3280)}{2187} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 3.5.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 3280}{2187} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 3.5.8.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3280}{2187}$

Langkah 4

Jumlahkan hasil penjumlahan.

$\frac{8}{3} + \frac{3280}{2187}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menuliskan $\frac{8}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{729}{729}$ .

$\frac{8}{3} \cdot \frac{729}{729} + \frac{3280}{2187}$

Langkah 5.2

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $2187$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $\frac{8}{3}$ dengan $\frac{729}{729}$ .

$\frac{8 \cdot 729}{3 \cdot 729} + \frac{3280}{2187}$

Langkah 5.2.2

Kalikan $3$ dengan $729$ .

$\frac{8 \cdot 729}{2187} + \frac{3280}{2187}$

Langkah 5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{8 \cdot 729 + 3280}{2187}$

Langkah 5.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kalikan $8$ dengan $729$ .

$\frac{5832 + 3280}{2187}$

Langkah 5.4.2

Tambahkan $5832$ dan $3280$ .

$\frac{9112}{2187}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{9112}{2187}$

Bentuk Desimal:

$4.16643804 \dots$

Bentuk Bilangan Campuran:

$4 \frac{364}{2187}$