Prakalkulus Contoh

$\tan (\frac{23 π}{12})$

Langkah 1

Pertama, bagi sudut menjadi dua sudut di mana nilai fungsi trigonometri enam diketahui. Dalam hal ini, $\frac{23 π}{12}$ dapat dibagi menjadi $\frac{5 π}{3} + \frac{π}{4}$ .

$\tan (\frac{5 π}{3} + \frac{π}{4})$

Langkah 2

Gunakan rumus penjumlahan tangen untuk menyederhanakan pernyataannya. Rumusnya menyatakan bahwa $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (\frac{5 π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Langkah 3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena tangen negatif di kuadran keempat.

$\frac{- \tan (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Langkah 3.2

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{3})$ adalah $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Langkah 3.3

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Langkah 4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena tangen negatif di kuadran keempat.

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Langkah 4.2

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{3})$ adalah $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Langkah 4.3

Kalikan $- - \sqrt{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + 1 \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Langkah 4.3.2

Kalikan $\sqrt{3}$ dengan $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Langkah 4.4

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}$

Langkah 4.5

Kalikan $\sqrt{3}$ dengan $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$

Langkah 5

Kalikan $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ dengan $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Langkah 6

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ dengan $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Langkah 6.2

Perluas penyebut menggunakan metode FOIL.

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Langkah 7.2

Naikkan $1 - \sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Langkah 7.3

Naikkan $1 - \sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

Langkah 7.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Langkah 7.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Langkah 8

Tulis kembali ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ sebagai $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Langkah 9

Perluas $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Langkah 9.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Langkah 9.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Langkah 10

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Langkah 10.1.2

Kalikan $- \sqrt{3}$ dengan $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Langkah 10.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Langkah 10.1.4

Kalikan $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Langkah 10.1.4.2

Kalikan $\sqrt{3}$ dengan $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Langkah 10.1.4.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{- 2}$

Langkah 10.1.4.4

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{- 2}$

Langkah 10.1.4.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{- 2}$

Langkah 10.1.4.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{- 2}$

Langkah 10.1.5

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 2}$

Langkah 10.1.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 2}$

Langkah 10.1.5.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

Langkah 10.1.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

Langkah 10.1.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1}}{- 2}$

Langkah 10.1.5.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Langkah 10.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{- 2}$

Langkah 10.3

Kurangi $\sqrt{3}$ dengan $- \sqrt{3}$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Langkah 11

Hapus faktor persekutuan dari $4 - 2 \sqrt{3}$ dan $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Langkah 11.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{- 2}$

Langkah 11.3

Faktorkan $2$ dari $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{- 2}$

Langkah 11.4

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{2 - \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$

Langkah 12

Tulis kembali $- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$ sebagai $- (2 - \sqrt{3})$ .

$- (2 - \sqrt{3})$

Langkah 13

Terapkan sifat distributif.

$- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}$

Langkah 14

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 - - \sqrt{3}$

Langkah 15

Kalikan $- - \sqrt{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- 2 + 1 \sqrt{3}$

Langkah 15.2

Kalikan $\sqrt{3}$ dengan $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

Langkah 16

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- 2 + \sqrt{3}$

Bentuk Desimal:

$- 0.26794919 \dots$